八年级数学重要复习资料：立方根

八年级数学重要复习资料：立方根

知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
　　立方根
　　读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
　　求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
　　立方根的性质：
　　⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
　　立方和开立方运算，互为逆运算。
　　互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
　　负数不能开平方，但能开立方。
　　立方根如何与其他数作比较?　　⑴做这两个数的立方
　　⑵作差
　　⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)
　　任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.
　　平方根与立方根的区别与联系
　　一、 区别
　　⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
　　⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
　　⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
　　二、 连系
　　二者都是与乘方运算互为逆运算

知识点一：
　　平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±
　　
　　，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.
　　例1
　　
　　的平方根是( ).
　　A.±9 B. ±3 C.9 D.3
　　解:因为
　　
　　=9，所以
　　
　　的平方根就是9的平方根，即±
　　
　　=±3，故选择B.
　　注:应现将
　　
　　化简后再求值.
　　知识点二:
　　算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作
　　
　　，0的算术平方根是0.
　　例2若a<0，则a2的算术平方根是( ).
　　A.-a B.a C.±a D. ±
　　
　　解:当a<0时，
　　
　　=|a|=-a，故选择A.
　　例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ).
　　A.a+5 B.a-5 C. a2+5 D. a2-5
　　解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.
　　知识点三:
　　平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.
　　例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.
　　解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.
　　例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值.
　　解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"若2a-3和a-12是m的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时， a= -9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时， a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49.
　　例6(北京海淀区)已知实数x，y满足
　　
　　，求代数式
　　
　　的值.
　　解析:因为|
　　
　　|≥0，
　　
　　≥0又
　　
　　.所以
　　
　　解得
　　
　　当
　　
　　时，
　　
　　.
　　知识点四:
　　立方根的概念及性质: 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x=
　　
　　.0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.
　　例7求4
　　
　　的立方根.
　　解:因为4
　　
　　=
　　
　　所以
　　
　　.
　　知识点五:
　　利用计算器求平方根、立方根等.
　　例8（陕西省）用计算器比较大小:
　　
　　（填"＞"、"＝"、"＜"）．
　　解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>.