直角三角形全等的判定同步测试题及参考答案

2.7 直角三角形全等的判定 同步练习

重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
难点：
创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
讲一讲
例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
分析：欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)
∴∠1=∠2，∴OB=OC

例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等
即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°
∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）
∴DE=EC又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.

例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG
因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。
证明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°
∵DE⊥AC∴∠DEC=90°
∵FG⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°
∴QF//CD∴QF=DG，
∴∠B=∠GFC
∵F为BC中点
∴BF=FC
在Rt△BQF与Rt△FGC中
∴△BQF≌△FGC（AAS）
∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC
∴在Rt△DEC中，∵G为DC中点∴DG=EG

练一练
1．选择：
（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（  ）个
①这两个三角形全等;  ②相等的角为锐角时全等
③相等的角为钝角对全等;  ④相等的角为直角时全等
A．0    B．1    C．2    D．3
（2）在下列定理中假命题是（  ）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（  ）
A．1：1    B．3：1     C．4：1     D．2：3
 

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（  ）
A．∠1<∠2         B．∠1=∠2;      C．∠1>∠2         D．不能确定
 

（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（  ）
A．30°        B．60°       C．120°      D．150°
2．解答：
（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF   FB=EC 求证：AB=DE.

（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.

（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
 

参考答案
（1）C;  （2）D;  （3）D
 
设BC=x则AC=2x，CD=2x ∴BD=3x∴AC：BD=2：3
（4）B
 
∵CE为△ABC中线,∴AE=EC
∴∠3=∠A
∵CF平分∠ACB
∴∠ACF=∠FCB   即∠3+∠1=∠2+∠4
∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠4=∠A
∴∠3+∠1=∠2+∠A
∴∠1=∠2

（5）C
∠ADC=60°∴∠ADB=120°

2．
（1）∵FB=CE
∴BC=FE
在Rt△ABC与Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴AB=DE

（2）∵AB⊥BD  CD⊥BD
∴∠ABD=∠BDC=90°
∴在Rt△ABD与Rt△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴∠ADB=∠DBC
∴AD//BC

（3）在Rt△ACB与Rt△ABD中
 
∴Rt△ACB≌Rt△BDF（HL）
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD
∴在Rt△CAE与Rt△BDF中
 
∴△CAE≌△BDF（AAS）
∴CE=DF.