2017年北京九年级数学上期中试卷(含答案和解释)

2016-2017学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5
2．下图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3．下列语句中错误的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形的内心是三角形内角平分线的交点
4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（　　）
 
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5，下列叙述正确的是（　　）
A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位
7．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．1500（1+x）+1500（1+x）2=2160 B．1500x+1500x2=2160
C．1500x2=2160 D．1500（1+x）2=2160
8．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（　　）
 
A．12 B．  C．  D．
9．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（　　）
 
A．30° B．45° C．50° D．70°
10．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．写出一个二次函数y=2x2的图象性质（一条即可）　　．
12．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，则∠ACA′的度数是　　．
 
13．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1　　y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
14．圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为　　．
15．二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上，则m=　　．
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
 
小敏的作法如下：
 
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是　　；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是　　．
　
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
17．如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并直接写出点B1的坐标：
B1（　　，　　）；
C1（　　，　　）．
 
18．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=　　寸，CD=　　寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
19．已知二次函数 y=x2﹣6x+5．
（1）将y=x2﹣6x+5化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当y＞0时，求x的范围．
20．已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；
（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．
21．某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．△ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D为垂足，E是 的中点，求证：∠1=∠2（提示：可以延长AO交⊙O于F，连接BF）．
 
23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB= ．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．
（1）求OA的长；
（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为 ，直接写出∠BAF的度数．
 
24．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）写出求图中阴影部分的面积的思路．（不求计算结果）
 
25．已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围　　；
（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周长．
26．阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．
观察图象可知：
①当x=﹣3或1时，y1=y2；
②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞ 的解集．
有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．
下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立；
当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞ ；
当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜ ；
（2）构造函数，画出图象
设y3=x2+4x﹣1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y4= 如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为　　；
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为　　．
　
三．解答题（共22分，27题7分，28题7分，29题8分）
27．在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；
②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
 
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣ +bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣ +bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
 
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．
图1为点P在⊙O外的情形示意图．
 
（1）若点B（1，0），C（1，1）， ，则SB=　　；SC=　　；SD=　　；
（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；
（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．
　
 

2016-2017学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y=（x﹣5）2+7
∴当x=5时，y有最小值7．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣ ，函数最小值y= ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣ ，函数最大值y= ．
　
2．下图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是正确确定对称中心的位置．
　
3．下列语句中错误的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形的内心是三角形内角平分线的交点
【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心．
【分析】分别根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心与内心的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、符合垂径定理，故本选项正确；
C、符合外心的定义，故本选项正确；
D、符合内心的定义，故本选项正确．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形三个内角角平分线的交点叫三角形的内心是解答此题的关键．
　
4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（　　）
 
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-对称．
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答．
【解答】解：A，M关于原点对称，A的坐标是（1，3），∴M（﹣1，﹣3）；
∵A，N关于x轴对称，A的坐标是（1，3），∴N（1，﹣3）．
故选C．
【点评】两个点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
　
5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】弧长的计算．
【分析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．
【解答】解：根据弧长的公式l= ，得
n= = =120°，
故选：D．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l= 是解题的关键．
　
6．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5，下列叙述正确的是（　　）
A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】计算题．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律可得答案．
【解答】解：将抛物线y=x2向上平移5个单位得到抛物线y=x2+5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
　
7．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．1500（1+x）+1500（1+x）2=2160 B．1500x+1500x2=2160
C．1500x2=2160 D．1500（1+x）2=2160
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】等量关系为：2013年盈利×（1+增长率）2=2015年的盈利，把相关数值代入即可．
【解答】解：2014年的盈利为1500×（1+x），2015年的盈利为1500×（1+x）×（1+x）=1500×（1+x）2，
∴列的方程为1500×（1+x）2=2160，
故选D．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
　
8．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（　　）
 
A．12 B．  C．  D．
【考点】切线的性质．
【分析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．
【解答】解：
连接CP，
∵OA边与⊙C相切于点P，
∴CP⊥AO，
∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∠AOB=90°，
∴∠POC=45°，
∴OP=CP=6，
∴OC= =6 ，
故选C．
 
【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．
　
9．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（　　）
 
A．30° B．45° C．50° D．70°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，
∴∠A=80°，
∴∠D=∠A=80°，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB= =50°，
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
　
10．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，在7＜x＜8这一段位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0＜x＜1这一段位于x轴的上方，而图象在1＜x＜2这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（﹣2，0），（6，0），然后把（﹣2，0）代入y=2x2﹣8x+m可求出m的值．
【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣8x+m=2（x﹣2）2﹣8+m的对称轴为直线x=2，
而抛物线在﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方∴抛物线过点（﹣2，0），（6，0），
把（﹣2，0）代入y=2x2﹣8x+m得8+16+m=0，解得m=﹣24．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．写出一个二次函数y=2x2的图象性质（一条即可）　图象有最低点（0，0），答案不唯一　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质说出其增减性、开口方向、最值等任意一个性质即可．
【解答】解：二次函数y=2x2的图象性质开口向上，图象有最低点（0，0）等，
故答案为图象有最低点（0，0），答案不唯一．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数y=ax2的性质是解决问题的关键．
　
12．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，则∠ACA′的度数是　50°　．
 
【考点】旋转的性质．
【分析】直接根据旋转的性质得出结论．
【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA'=50°，
故答案为：50°
【点评】此题是旋转的性质，主要考查了旋转的性质，掌握旋转的性质和灵活运用是解本题的关键．
　
13．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x=﹣3时，y1=x2﹣5x=24；
当x=2时，y2=x2﹣5x=﹣6；
∵24＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
　
14．圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为　8　．
【考点】正多边形和圆．
【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长．
【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形，
∴∠AOB= =60°，
又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=8．
故答案为：8．
 
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，应注意掌握．
　
15．二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上，则m=　4　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】把函数化成y=（x﹣2）2﹣4+m，根据题意可得出m的值．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上，
∴y=（x﹣2）2﹣4+m，
∴m﹣4=0，即m=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．
　
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
 
小敏的作法如下：
 
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是　直径所对的圆周角是直角　；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是　经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　．
【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵OP是⊙O的直径，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴直线PA，PB都是⊙O的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．
　
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
17．如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并直接写出点B1的坐标：
B1（　1　，　2　）；
C1（　4　，　1　）．
 
【考点】作图-旋转变换．
【专题】作图题．
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1．
【解答】解：如图，△AB1C1为所作，B1点的坐标为（1，2），C1点的坐标为（4，1）．
 
故答案为（1，2），（4，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
　
18．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=　1　寸，CD=　10　寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．
【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；
故答案为：1，10；   
（2）连接CO，如图所示：
∵BO⊥CD，
∴ ．
设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，
在Rt△CAO中，∠CAO=90°，
∴AO2+CA2=CO2．
∴（x﹣1）2+52=x2．
解得：x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
 
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．
　
19．已知二次函数 y=x2﹣6x+5．
（1）将y=x2﹣6x+5化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当y＞0时，求x的范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的三种形式．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答；
（3）求出x2﹣6x+5=0的解，解答即可．
【解答】解：（1）y=x2﹣6x+5
=x2﹣6x+9﹣4
=（x﹣3）2﹣4；
（2）∵y=（x﹣3）2﹣4，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）x2﹣6x+5=0，
x1=1，x2=5，
当x＜1或x＞5时，y＞0．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
　
20．已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；
（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．
【解答】解：
（1）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B的左侧．
∴点A的坐标是（﹣1，0），B的坐标是（3，0）．
∵y=﹣﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是x=1；
（2）
∵顶点C的坐标是（1，﹣4），D与点C关于x轴对称，
∴D的坐标是（1，4）．
∴AB=3﹣（﹣1）=4，CD=4﹣（﹣4）=8，
∴四边形ACBD的面积是：  AB•CD= ×4×8=16．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．
　
21．某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）求得每个书包的利润，及每月可卖出书包的个数，那么利润等于这2个量的乘积；
（2）用配方法求得（1）中求得的二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵每个书包涨价x元，
∴销量为600﹣10x，
每个书包的利润为40﹣30+x，
∴y=（40﹣30+x）（600﹣10x），
=﹣10x2+500x+6000，
∵600﹣10x＜0，x＞0，
∴0＜x＜60；
（2）y=﹣10x2+500x+6000=﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a=﹣10＜0，
∴每个书包涨价25元时，利润最大，此时书包的定价为25+40=65元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题关键是设出上涨x，而对应的销售就下降10x．
　
22．△ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D为垂足，E是 的中点，求证：∠1=∠2（提示：可以延长AO交⊙O于F，连接BF）．
 
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．
【解答】证明：连接OE，
∵E是 的中点，
∴弧BE=弧EC，
∴OE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD，
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠1=∠2．
 
【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．
　
23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB= ．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．
（1）求OA的长；
（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为 ，直接写出∠BAF的度数．
 
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；
（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，AB= ，
∴AD=DB=2 ，
∵∠E=30°，
∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，
∴OA= =4；
（2）如图，作OH⊥AF于H，
∵OA=4，OH=2 ，
∴∠OAF=45°，
∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，
则∠BAF′=∠OAF′﹣∠OAB=15°，
∴∠BAF的度数是75°或15°．
 
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
　
24．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）写出求图中阴影部分的面积的思路．（不求计算结果）
 
【考点】切线的判定；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
【专题】计算题．
【分析】（1）连接OD，如图，利用等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，再证明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根据切线的判定定理可判断DF为⊙O的切线；
（2）利用等边三角形的性质得到AB=AC=4，∠C=60°，则CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定义可计算出DF；
（3）连接OE，如图，根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB=AC=4，∠C=60°，
∵AO=AD=2，
∴CD=2，
在Rt△CDF中，∵sinC= ，
∴DF=2sin60°= ；
（3）解：连接OE，如图，
∵CF= CD=1，
∴EF=CE﹣CF=1，
∴S阴影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE= （1+2）• ﹣ = ﹣ π．
 
【点评】本题考查了切线判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．
　
25．已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围　﹣ ≤y＜4　；
（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据增减性确定m的值即可．
（2）画出函数图象，求出函数最小值以及x=0或4是的y的值，由此即可判断．
（3）由BC=1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A（1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，
∴0=0+0+m2﹣1，即m2﹣1=0
解得m=±1．
又∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴m=﹣1，
∴二次函数解析式为y=x2﹣3x．

（2）如图1中，
 
x=0时，y=0，
∵y=（x﹣ ）2﹣ ，
∴x= 时，y最小值为﹣ ，
x=4时，y=4，
∴0＜x＜4时，﹣ ≤y＜4．
故答案为﹣ ≤y＜4．

（3）如图2中，
 
∵BC=1，B、C关于对称轴对称，
∴B（，1，0），C（（2，0），
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），
∴AB=DC=2，BC=AD=1，
∴四边形ABCD的周长为6，
当BC=1时，矩形的周长为6．
【点评】本题考查二次函数的有关性质、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法确定函数的顶点坐标，学会根据抛物线的对称性解决问题，属于中考常考题型．
　
26．阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．
观察图象可知：
①当x=﹣3或1时，y1=y2；
②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞ 的解集．
有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．
下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立；
当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞ ；
当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜ ；
（2）构造函数，画出图象
设y3=x2+4x﹣1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y4= 如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为　±1和﹣4　；
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为　x＞1或﹣4＜x＜﹣1　．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；
（3）根据图象即可直接求解；
（4）根据已知不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞ ，；当x＜0时，x2+4x﹣1＜ ，根据图象即可直接写出答案．
【解答】解：（2）
 ；
（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和﹣4．
则满足y3=y4的所有x的值为±1和﹣4．
故答案是：±1和﹣4；
（4）不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞ ，此时x的范围是：x＞1；
当x＜0时，x2+4x﹣1＜ ，则﹣4＜x＜﹣1．
故答案是：x＞1或﹣4＜x＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞ ，；当x＜0时，x2+4x﹣1＜ ，分成两种情况讨论是本题的关键．
　
三．解答题（共22分，27题7分，28题7分，29题8分）
27．在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；
②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
 
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】①线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
②结论仍然成立．证明的方法与（1）类似．
【解答】解：①结论：CE=BD，CE⊥BD．理由如下：
如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．

②结论仍然成立．理由如下：
如图2中，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．
 
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质
　
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣ +bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣ +bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
 
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；
（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．
【解答】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．
由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．
将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得
 ，
解得 ．
故抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x﹣2；
（2）联立抛物线与直线，得
 ，
解得 ， ，
即B（2，1），C（5，﹣2）．
由勾股定理，得
AB= = ；
（3）如图：
 ，
四边形ABCN是平行四边形，
证明：∵M是AC的中点，
∴AM=CM．
∵点B绕点M旋转180°得到点N，
∴BM=MN，
∴四边形ABCN是平行四边形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．
图1为点P在⊙O外的情形示意图．
 
（1）若点B（1，0），C（1，1）， ，则SB=　0　；SC=　 ﹣1　；SD=　 　；
（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；
（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据点的坐标和新定义解答即可；
（2）根据直线y=x+b的特点，结合SM=2，根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．
【解答】解：（1）∵点B（1，0），
∴SB=0，
∵C（1，1），
∴SC= ﹣1，
∵ ，
∴SD= ，
故答案为：0； ﹣1； ；
（2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，
作OG⊥EF于G，
∵∠FEO=45°，
∴OG=GE，
当OG=3时，GE=3，
由勾股定理得，OE=3 ，
此时直线的解析式为：y=x+3 ，
∴直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是﹣3 ≤b≤3 ；
（3）∵T在⊙O内，
∴ST≤1，
∵ST≥SR，
∴SR≤1，
∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．
 
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、新定义、点与圆的位置关系，正确理解点P到⊙O的距离SP的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．