2017年庆阳市中考数学试题(含答案和解释)

甘肃省庆阳市2017年中考数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分）
1.下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是(    ).
 
    A               B                 C                 D
答案:B.
解析:根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋
转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.故
选B．
考点:中心对称图形
2.据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在甘肃庆阳发射升空，与天宫
二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的轨道高度，
393000用科学记数法可以表示为(    ).
A.    B.    C.    D.
答案:B.
解析：根据科学计数法的定义：把一个数字记为的形式(1≤| |<10，n为整数),这种记数法叫做科学记数法.故选B．
考点:科学计数法.
3.4的平方根是(    )
A.16   B.2   C.   D.
答案：C.
解析：根据平方根的定义，求数 的平方根，也就是求一个数 ，使得 = ，则 就是 的平方根．
∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选C．
考点:平方根.
4.某种零件模型可以看成如图所示的几何体(空心圆柱)，该几何体的俯视图是(    ).
 
                            
答案：D.
解析：几何体的俯视图是指从上面看所得到的图形. 此题由上向下看是空心圆柱，看到的是一个圆
环，中间的圆要画成实线．故选D．
考点:三视图.
5.下列计算正确的是(    ).
A.   B.   C.   D.
答案：D.
解析：根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法等知识点进行判断， A项错误，合并同类项应为2 ；B项错误，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可知 ；C项错误，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可知 ；D项正确， .故选D.
考点:幂的运算法则.
6.把一把直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 为(    ).
A.   B.    C.   D. 
 
答案：C.
解析：根据三角形外角性质得到∠3=∠C+∠1=135°，然后根据平行线的性质即可得到∠2=∠3=135°．故选C.
 
考点:平行线的性质与三角形外角性质.
7.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象如图所示，观察图象可得(    ).
A.    B.       C.    D.
 
答案：A.
解析：根据一次函数 的图象经过二、三、四象限，由一次函数图象与系数的关系，即可得出 ．故选A．
考点:一次函数的性质.
8.已知 是 的三条边长，化简 的结果为(    ).
A.  B.  C.  D.0
答案：D.
解析：根据三角形三边满足的条件：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，即可确定 ＞
0， ＜0，所以 = + =0，故选D．
考点:三角形三边的关系.
9.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地
上种植草坪，使草坪的面积为 ，若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是(    ).
A.                   
B.
C.                   
D.
 
答案：A.
解析：将两条纵向的道路向左平移，水平方向的道路向下平移，即可得草坪的长为 米，宽为 米，所以草坪面积为长与宽的乘积，即可列出方程 ．故选A．
 
考点:一元二次方程的应用.
10.如图①，在边长为4的正方形 中，点 以每秒2cm的速度从点 出发，沿 的路径
运动，到点 停止，过点 作 ， 与边 (或边 )交于点 ， 的长度 (cm)与点
 的运动时间 (秒)的函数图象如图②所示，当点 运动 秒时， 的长是(    ).
A.  B.  C.  D.
 
答案：B.
解析：当点P运动2.5秒时，如图所示：
 
则PB=1 cm，因为BC＝4 cm ，所以PC＝3 cm；由题意可知，CQ＝3 cm，所以PQ＝ .故选：B.
考点:函数的图象.
二、填空题：（每小题4分，共8小题，合计32分）
11.分解因式：           ．
答案： .
解析：根据完全平方公式,分解因式即可．
考点:因式分解.
12.估计 与 的大小关系：            ．(填“ ”或“ ”或“ ”)
答案：＞.
解析：∵0.5= ，又 ＞2，∴ ﹣1＞1，即 ＞ ．故答案为＞．
考点:无理数的估算.
13.如果 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，那么代数式
 的值为          ．
答案：0.
解析：∵ 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，∴ ， =0， ，∴ =（﹣1）2015+2016×0+12017=0，故答案为0．
考点:有理数的有关概念.
14.如图， 内接于 ，若 ，则           ．
 
答案：58°.
解析：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），
∴∠OAB=∠OBA；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；
而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；
故答案是：62°．
 
考点:圆周角定理.
15.若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是    .
答案： ≤5且 ≠1.
解析：∵关于 的一元二次方程 有实数根，∴ ≠0且 ≥0，即42﹣
4×( )×1≥0，解得 ≤5且 ≠1．故答案为： ≤5且 ≠1．
考点:一元二次方程根的判别式.
16.如图，一张三角形纸片 ， ， ， ，现将纸片折叠：使点 与点
 重合，那么折痕长等于   cm.
 
答案： .
解析：在Rt△ABC中，因为AC=6cm，BC=8cm，根据勾股定理，所以AB＝10cm.设CE= cm，由
折叠的性质得：BD=AD=5 cm， BE=AE=(8﹣ )cm，在Rt△BCE中，根据勾股定理可知：
AC2+CD2=AD2，即62+（8﹣ ）2= 2，解方程得 ＝ .故答案为 ．
 
考点:图形折叠与勾股定理.
17.如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交
 边于点 ，则 的长等于   .(结果保留 )
 
答案： .
解析：在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，∴cos∠A= ,∴∠A=60°，∴ 的长为 .
考点:弧长公式.
18.下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5，那么第2个图
形的周长为  ，第2017个图形的周长为   .

答案：8，6053.
解析：根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是梯形；当图形的个数时偶数个时，正好构成平行四边形，这个平行四边形的水平边是3，两斜边长是1，则周长是8．第2017个图形构成的图形是梯形，这个梯形的上底是3025，下底是3026，两腰长是1，故周长是6053.
考点:规律探索.
三、解答题（一）：本大题共5个小题，共38分．
19.计算：
思路分析：会正确化简二次根式、零指数、负指数幂.
解：原式=  = = ． 
20.解不等式组 ，并写出该不等式组的最大整数解.
思路分析：先求出不等式组的解集，再找出解集中的最大整数解。
解：解  ≤1得：x≤3，
解1 x＜2得：x＞ 1．
则不等式组的解集是： 1＜x≤3．
∴该不等式组的最大整数解为 ．
21.如图，已知 ，请用圆规和直尺作出 的一条中位线 (不写作法，保留作图痕迹).
  
思路分析：分别是作出AB、AC两边的垂直平分线，即确定AB、AC两边的中点，连接两个中点，
即可得到一条中位线。
解：如图，
∴线段EF即为所求作．
 
22.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 、 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭 进行了测量，如图，测得 ， .若 米，求观景亭 到南滨河路 的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据： ， ， )
 
思路分析：过D作 DE⊥AC，构造Rt△DEA、Rt△DEB. 在Rt△DEB中，已知∠DBC=65°，∴ ；在Rt△DEA中，已知∠DAC=45°，∴AE=DE，即可列出方程，求出BE，进而求得DE.
解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，在Rt△DEB中， ，
∵∠DBC=65°，∴ ． 又∵∠DAC=45°，∴AE=DE． 
∴ ，              ∴  解得 ，       ∴ (米)．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
 
23.在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被
分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)。游戏规则如下：
两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大小12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止).
⑴请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
⑵分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
  
解：（1）画树状图：
 
 列表如下:
 
可见，两数和共有12种等可能性；        
（2） 由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的
情况有3种，∴李燕获胜的概率为 ；刘凯获胜的概率为 .  
四、解答题（一）：本大题共5个小题，共50分．
24.中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广。为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全
校3000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的
成绩(成绩 取整数，部分100分)作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
 
根据所给信息，解答下列问题：
(1)      ，      ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)这200名学生成绩的中位数会落在   分数段；
(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约为多少人？
 解：（1）m=70,    n=0.2；
（2）频数分布直方图如图所示，
 
（3） 80≤x＜90； 
（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：
3000×0.25=750（人）．
25.已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限
内的 ， 两点，与 轴交于 点.
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)写出点 关于原点的对称点 的坐标；
(3)求 的正弦值.
 
思路分析：①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出 的值；将P、Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可一次函数的表达式。
②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出 的坐标；
③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D.可构造出Rt△P′AD，又因点A在 的图象上，故可求出点A坐标，得到OA长度, 利用P′ 点坐标，可以求出P′D、 P′A，即可得到 的正弦值.
解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，∴把点P( ，8)代入 可得：k2=4，
∴反比例函数的表达式为 ，∴Q (4，1) ．
把P( ，8)，Q (4，1)分别代入 中，得 ，    解得 ，   ∴一次函数的表达式为 ；
（2）P′( , 8)        
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D. ∵P′( , 8),  ∴OD= ，P′D=8，
∵点A在 的图象上，∴点A（ ，0），即OA= ,  
∴DA=5,∴P′A=     ∴sin∠P′AD
∴sin∠P′AO ．
 
26.如图，矩形 中， ， ，过对角线 中点 的直线分别交 ， 边于点 ，
 .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当四边形 是菱形时，求 的长.
  
思路分析：①根据已知条件，易证△BOE≌△DOF，得到EO=FO，又OB=OD，所以四边形BEDF是平行四边形；
②当四边形BEDF是菱形时，设BE=x 则 DE= ， ，在Rt△ADE中，利用勾股定理，可求出BE、BD；又因为 即可求出EF.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF，
又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，设BE=x 则 DE= ， ，
在Rt△ADE中， ，∴ ， ∴ ，                      
 
     ．
 
27.如图， 是 的直径， 轴， 交 于点 .(1)若点 ， ， ，
求点 的坐标；
(2)若 为线段 的中点，求证：直线 是 的切线.
 
思路分析：①由题意可知AN=4，AB=2AN=8，由勾股定理可计算出NB= ，即可写出点 的坐标；
②连接MC，NC.由AN是⊙M的直径，得∠ACN=90°，∠NCB=90°；在Rt△NCB中，D为NB的中点，可知CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD；又因MC=MN，可知∠MCN=∠MNC；又∠MNC+∠CND=90°，所以∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD，即可证明直线CD是⊙M的切线．
解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB= ，∴B（ ，2）
（2）连接MC，NC.∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD= NB=ND，∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线． 
 

28.如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 .
(1)求二次函数 的表达式；
(2)连接 ，若点 在线段 上运动(不与点 ， 重合)，过点 作 ，交 于点 ，当 面积最大时，求 点的坐标；
(3)连接 ，在(2)的结论下，求 与 的数量关系.
 
思路分析：①用代定系数法，将点B，点C的坐标分别代入 ，解得 、 ，即可求出二次函数的表达式．
②设点N的坐标为（n，0）（ 2＜n＜8），则 ， ．由题意可知BC=10，OA=4， ， ；因MN∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得 ；由图可知△AMN，△ABN是同高三角形，故可得出 从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大．
③当N（3，0）时，N为BC边中点和 推出M为AB边中点，根据三角形中位线定理可得 ；利用勾股定理易得 ， ，即可求出 ．
解：（1）将点B，点C的坐标分别代入 ，
得： ，解得： ， ．
∴该二次函数的表达式为 ．
（2）设点N的坐标为（n，0）（ 2＜n＜8），则 ， ．         
∵B（-2，0）, C（8，0）, ∴BC=10.
令 ，解得： ，∴点A（0，4），OA=4，
∵MN∥AC，∴ ．
∵OA=4，BC=10，       
∴ ．
 
∴ ．
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大． 
（3）当N（3，0）时，N为BC边中点.∴M为AB边中点，∴               
∵ ，   ，    
∴    ∴ ．