2018届中考数学复习第33课时相似图形的应用同步练习（附答案）

第33课时　相似图形的应用
 
 (68分)
一、选择题(每题6分，共30分)
1．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图33－1所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据求出A，B间距离的有       (　C　)
A．1组    B．2组   C．3组   D．4组
【解析】 此题比较综合，要多方面考虑．①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③∵△ABD∽△FED，∴可利用ABFE＝DBDE求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组数据可以求出A，B间距离．
2．[2017•眉山]“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图33－2获得，则井深为       (　B　)
A．1.25尺  B．57.5尺 
C．6.25尺  D．56.5尺
  
图33－2    　　　第2题答图
【解析】 如答图，依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．
3．[2017•绵阳]为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图33－3.已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于         (　B　)
A．10 m  B．12 m
C．12.4 m  D．12.32 m
【解析】 由题意可得AB＝1.5 m，BC＝0.5 m，DC＝4 m，△ABC∽△EDC，则ABED＝BCDC，即1.5DE＝0.54，解得DE＝12 m.
4．[2016•烟台]如图33－4，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为   (　A　)
A．(3，2)  B．(3，1) 
C．(2，2)  D．(4，2)
5．[2018•中考预测]如图33－5，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是(　C　)
A．3.25 m  B．4.25 m
C．4.45 m  D．4.75 m
【解析】 BD是BC在地面的影子，设树高为x，根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得CBBD＝10.8，而CB＝1.2，∴BD＝0.96 m，
∴树在地面的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)，再由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得x3.56＝10.8，解得x＝4.45 m．故选C.
二、填空题(每题6分，共18分)
6．如图33－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为__18__cm.
【解析】 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比进行解答．
7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九章“勾股”，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．如图33－7，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”(注：1里＝300步)你的计算结果是：出南门__315__步而见木．
【解析】 如答图，由题意，得AB＝15里，AC＝4.5里，CD＝3.5里，∵△ACB∽△DEC，∴ACDE＝ABDC，即4.5DE＝153.5，解得DE＝1.05里＝315步，
∴走出南门315步恰好能望见这棵树．
8．如图33－8，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在点D′处，C′D′交AE于点M.若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__94__.
【解析】 ∵C′是AB的中点，AB＝6，∴AC′＝BC′＝3，∵四边形DCFE沿EF翻折至四边形D′C′FE，∴CF＝C′F，∠C＝∠MC′F，∴BC＝BF＋FC＝BF＋FC′＝9，∴FC′＝9－BF，在Rt△BC′F中，根据勾股定理，得BF2＋BC′2＝FC′2，即BF2＋32＝(9－BF)2，解得BF＝4，∴FC′＝5，又∵∠BFC′＋∠BC′F＝90°，∠AC′M＋∠BC′F＝90°，∴∠BFC′＝∠AC′M，∵∠A＝∠B＝90°，∴△FC′B∽△C′MA，∴BFAC′＝BC′AM，即43＝3AM，∴AM＝94.
三、解答题(共20分)
9．(10分)如图33－9，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1 km，AN＝1.8 km，AB＝54 m，BC＝45 m，AC＝30 m，求M，N两点之间的直线距离．
  
图33－9　　    　第9题答图
解：如答图，连结MN.∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN，∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM，∴BCMN＝3100，∴45MN＝3100，∴MN＝1 500.
答：M，N两点之间的直线距离为1 500 m.
10．(10分)如图33－10，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度．

【解析】 根据题意，可得△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
解：由题意，可得△DEF∽△DCA，则DEDC＝EFCA，
∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DG＝1.5 m，DC＝20 m，
∴0.520＝0.25AC，解得AC＝10，
∴AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(m)．
答：旗杆的高度为11.5 m.
 (20分)
11．(10分)[2017•十堰]如图33－11，已知AB为半圆O的直径，BC⊥AB于点B，且BC＝AB，D为半圆上一点，连结BD并延长交半圆O的切线AE于点E.
       
①              　　　　②
图33－11
(1)如图①，若CD＝CB，求证：CD为半圆O的切线；
(2)如图②，若点F在OB上，且FD⊥CD，求AEAF的值．
解：(1)证明：如答图①，连结DO，CO，
∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，
在△CDO与△CBO中，
CD＝CB，OD＝OB，OC＝OC，∴△CDO≌△CBO，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴OD⊥CD，
∴CD为半圆O的切线；
           
第11题答图①    　　　第11题答图②
(2)如答图②，连结AD，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF＋∠BDF＝90°，∠DAB＋∠DBA＝90°，
∵∠BDF＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，
∴△ADF∽△BDC，∴ADBD＝AFBC，
∵∠DAE＋∠DAB＝90°，∠E＋∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAB，
∵在△ADE和△BDA中，∠ADE＝∠BDA＝90°，∠E＝∠DAB，
∴△ADE∽△BDA，∴AEAB＝ADBD，
∴AEAB＝AFBC，即AEAF＝ABBC，∵AB＝BC，∴AEAF＝1.
12．(10分)如图33－12，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC︵的中点，AE⊥AC于点A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且BF︵＝AD︵.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA＝∠ABE.∵BF︵＝AD︵，
∴∠DCA＝∠BAE，∴△ADC∽△EBA；
(2)∵A是BDC︵的中点，∴AB︵＝AC︵，∴AB＝AC＝8，
∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，
∴CDAB＝CAAE，即58＝8AE，∴AE＝645，
∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝ACAE＝ 8 645＝58.
 (12分)
13．(12分)[2017•眉山]如图33－13，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G.
(1)求证：BG＝DE；
(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．
解：(1)证明：∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE，
在△BCG与△DCE中，∠CBG＝∠CDE，BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE；
(2)设CG＝1，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝1，
由(1)可知△BCG≌△DCE，∴CG＝CE＝1，
∴由勾股定理可知DE＝BG＝5，
∵sin∠CDE＝CEDE＝GFGD，∴GF＝55，
∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，
∴ABCG＝BHGH＝21，∴BH＝235，GH＝135，
∴HGGF＝53.