2017年郯城县中考数学一模试卷（带答案）

山东省临沂市郯城县2017年中考数学一模试卷（解析版）
　
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．实数﹣2015的绝对值是（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．±2015 D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣2015|=2015，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
　
2．移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截至2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1.62亿用科学记数法表示为1.62×108．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
3．下列式子中正确的是（　　）
A．（ ）﹣2=﹣9 B．（﹣2）3=﹣6 C．  =﹣2 D．（﹣3）0=1
【分析】根据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐一运算，判断即可．
【解答】解：A、 =9，故本项错误；
B、（﹣2）3=﹣8，故本项错误；
C、 ，故本项错误；
D、（﹣3）0=1，故本项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
　
4．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是（　　）
 
A．30° B．45° C．60° D．65°
【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=30°，
∴∠3=60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故选C．
 
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
　
5．已知x= ，y= ，则x2+xy+y2的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
【分析】先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可．
【解答】解：原式=（x+y）2﹣xy
=（ + ）2﹣ ×
=（ ）2﹣
=5﹣1
=4．
故选B．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．
　
6．不等式组 的整数解的个数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．无数个
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
【解答】解： ，
解①得：x＞﹣2，
解②得：x≤3．
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3．
则整数解是：﹣1，0，1，2，3共5个．
故选B．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
　
7．化简 的结果是（　　）
A．x+1 B．  C．x﹣1 D．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣ = = =x+1．
故选A
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
8．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（　　）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：圆锥的弧长为：  =24π，
∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，
故选C．
【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；
　
9．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN= ，
∴AE= ，同理可得：AC= ，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为 的线段有6种情况，
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为： ．
故选：B．
 
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．
　
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到 = ，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴BE：EC=1：3；
∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴ = ，
∴S△DOE：S△AOC= = ，
故选D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
　
11．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y= 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　）
 
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
【分析】根据题意求出点A的坐标，根据正方形的性质求出点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵点A在直线y=x上，横坐标为1，
∴点A的坐标为（1，1），
∵正方形ABCD的边长为3，
∴点C的坐标为（4，4），
当双曲线y= 经过点A时，k=1×1=1，
当双曲线y= 经过点C时，k=4×4=16，
∴双曲线y= 与正方形ABCD公共点，则k的取值范围是1≤k≤16，
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题以及正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、以及正方形的性质是解题的关键．
　
12．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　）
 
A．80° B．100° C．110° D．130°
【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示，
 
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°，
∴∠1=260°，
∵∠A= ∠1，
∴∠A=130°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE ，从而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．
【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= = ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= = ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
　
14．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（　　）
 
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：5x3﹣10x2+5x=　5x（x﹣1）2　．
【分析】先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：5x3﹣10x2+5x
=5x（x2﹣2x+1）
=5x（x﹣1）2．
故答案为：5x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
　
16．分式方程 的解为　x=4　．
【分析】原式变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1﹣x=﹣1﹣2x+6，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
17．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的序号）．
 
【分析】利用SAS得到△EBF与△DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由△ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
 ，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
 ．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；
若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
18．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为　 　．
 
【分析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵△BCM∽△ACN，
∴ = ，即 = =2，即MC=2NC，
∴CN= MN= ，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC= = ，
故答案为： ．
 
【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
　
19．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 =　 　．
【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，  = + + +…+
=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．
　
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算：﹣32÷ × +| ﹣3|
【分析】分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．
【解答】解：﹣32÷ × +| ﹣3|
=﹣9× × +3﹣
=﹣ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
　
21．（7分）亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名涌中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．
类别 时间t（小时） 人数
A t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 20
C 1＜t≤1.5 a
D 1.5＜t≤2 30
E t＞2 10
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a=　35　；
（2）补全条形统计图；
（3）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．
 
【分析】（1）用样本总数100减去A、B、D、E类的人数即可求出a的值；
（2）由（1）中所求a的值得到C类别的人数，即可补全条形统计图；
（3）用30万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）a=100﹣5﹣20﹣30﹣10=35；
（2）补全条形统计图如图所示：
 
（3）30× =22.5（万人）．
答：估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人．
故答案为：（1）35．
【点评】本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了中位数的定义以及利用样本估计总体．
　
22．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．
 
【分析】（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．
（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
 ，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．
　
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
 
【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
连结OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵直线BC过半径OD的外端，
∴直线BC与⊙O相切．
（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∴3r=6，解得r=2．
（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴ ．
∵∠B=30°，OD⊥BC，
∴OB=2OD，
∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，
∴OD=2，BD=2
S△BOD= ×OD•BD=2 ，
∴所求图形面积为 ．
 
【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
　
24．（9分）我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元，求a的值．
 
【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，即可解答；
（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根据70≤x≤100，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），即可解答；
（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，利用一次函数的性质，x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），而两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），所以﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，即可解答．
【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，
∴120﹣x≤50，
∴x≥70，
①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，
②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，
综上所述，W=
（2）∵甲团队人数不超过100人，
∴x≤100，
∴W=﹣10x+9600，
∵70≤x≤100，
∴x=70时，W最大=8900（元），
两团联合购票需120×60=7200（元），
∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）．
（3）∵x≤100，
∴W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，
∴x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），
两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），
∵﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，
解得：a=10．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一次函数的性质求得最大值．注意确定x的取值范围．
　
25．（11分）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC= ，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
 
【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可．
【解答】解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：
 
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵cos∠ABC= ，AB=5，
∴BF=3，
∴BC=6，
∴B1C=BC=6，
∵CE⊥AB，
∴BE=B1E= ，
∴BB1= ，CE= ，
∴AB1= ，
∴△AB1C的面积为： ；

（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，

此时在Rt△BFC中，CF= ，
∴CF1= ，
∴EF1的最小值为 ；
如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的最大值与最小值的差为 ．
【点评】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答．
　
26．（13分）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
 
【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣ ，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣  x2+ x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
 ，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，
∴b= ，
∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（ ，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣  x2+ x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，
∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，
∴﹣ x2+ x= ，
∴P点的坐标为（ ， ）；

（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，
∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，
∴﹣ x2+ x=﹣ ，
∴P点的坐标为（ ，﹣ ）；
综上，在抛物线上是否存在点P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB与∠BCD互余．

（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．
 

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．