初中数学《第1章实数》竞赛专题复习（人教版附答案）

第一篇代数
第1章实数
1．1实数的运算
1．1．1★计算：
 ．
解析 将 及 分别分解为两数的积，得
 ，
 ，
所以，原式 ．
评注 一般地有
 ； ； ；…
1.1.2★计算：
 ．
解析
原式  ．
1.1.3★计算： ．
解析原式 ．
评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把 拆成 ，即有
 ．
其他常用的拆项方法如：
(1)  ．它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为 的情形．
(2) ．
1.1.4★计算： ．
解析原式 
   ．
1.1.5★★计算：
 ．
解析 因为 ，所以
原式
 ．
1.1.6★★计算： ．
解析 因为
 ，
所以
原式
 ．
1.1.7★★设 ，求与 最接近的正整数．
解析 对于正整数 ，有
 ，
所以
 
 
 
 ．
因为 ，所以，与 最接近的正整数为25．
1.1.8★★2008加上它的 得到一个数，再加上所得的数的 又得到一个数，再加上这次得数的 又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的 ．最后得到数为
 ．
1.1.9★计算：
 ．
解析 因为
 
 ，
所以
 ．
1.1.10★计算：
 ．
解析 
1.1.11★★计算：
 ．
解析 因为
 ，
 ，
 ，
……
 ，
所以 
 
 ．
1.1.12★★计算： ．
解析 
 
 ．
1.1.13★★计算： ．
解析 设 ，则
 ，
所以 ，
故 ．
评注 一般地，对于求和： ，我们常常采用如下方法，令
 ，
则 ，
于是 ，
 ．
1.1.14★★计算： ．
解析 设 ，则 ，所以
 ， ．
1.1.15★计算：
 ．
解析 设 ，
 ，
则原式 ．
 
1.1.16★★计算下列繁分数：
 （2008个减号）．
解析 先耐心地算几步，从中发现规律．可将 用字母 代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出
 ，
 ，
 ．
由此可见，每计算3步， 又重新出现，即3是一个周期．而 ，所以，原式 ．特别地，在 时，得出本题的答案是 ．
1.1.17★★比较 与2的大小．
解析先将 中的每一个数拆成两数的差：
 ， ， ，

 ， ， ．
所以，
 
＝ ，
好
1.1.18★★★已知
 ，问： 的整数部分是多少？
解析 我们只要估算出 在哪两个相邻整数之间即可．
 
 
 
 
 ．
这里 ，
下面进一步估计 介于哪两个相邻整数之间．
 
 ，
  ．
所以， ， ．
即 的整数部分是101．
1.1.19★★在数 ， ， ， ， ， ， ， 的前面分别添加“ ”或“ ”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？
解析 这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而 ，所以添加“ ”或“ ”后，正数的和应为 ．
方法很多．如
 ，
 ，
 ，
 ，
 等．
1.1.20★★计算
 ．
解析 因为
 ，
所以，原式等于
 
 ．
1.1.21★★★求和： ．
解析因为 ，所以
 ，
原原式
 ．
1.1.22★★已知 ，其中 为正整数，证明：
 ．
解析 注意到
 ，
所以
 
  ．
1.1.23★★★求下列分式的值： ．
解析 由于
 
 ．
由此，
原式
  ．
评注 对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键．
1.1.24★★设 ，求 的整数部分．
解析 对于 ， ， ， ，因为
 ，
所以
 
 ，
于是有 ，故 的整数部分等于4．
1.2实数与数轴
1.2.1★数 、 在数轴上对应的点如图所示，试化简 ．
 
解析  由图可知 ， ，而且由于 点离原点的距离比 点离原点的距离大，因此 ．我们有
 
 
 
 ．
评注本题由图，即数轴上 、 两点的位置，“读”得 ， ， 等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题．
1.2.2★已知 ，化简： ．
解析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
原式 （因为 ）
 （因为 ）
 ．
1.2.3★若 ，化简 ．
解析因为 ，所以 ，从而
 ， ，
 ，
 ．
因此，原式 ．
评注 根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子 ），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．
1.2.4★化简： ．
解析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简 ，只要考虑 的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分 是一个分界点．类似地，对于 而言， 是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点 和 标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即
 ， ， ．
 
这样我们就可以分类讨论化简了．
（1）当 时，
原式 ；
（2）当 时，
原式 ；
（3）当 时，
原式 ．
即
 
评注 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
1.2.5★设 ，且 ，试化简
 ．
解析 因为 ， ，所以 ． ，即 ，所以
 ， ，
因此
 ．
1.2.6★★化简 ．
解析 先找零点．
由 得 ．由 即 ，得 ，
从而 或 ．由 得 ．
所以零点共有 ， ， 三个．因此，我们应将数轴分成4个部分，即
 ， ， ， ．
当 时，
原式
 
 ．
当 时，
原式
 ．
当 ，
原式
 
 ．
当 时，
原式
 ．
即
原式
评注 由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑 的零点．
1.2.7★★若 的值恒为常数，求 满足的条件及此常数的值．
解析 要使原式对任何数 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含 的项相加为零，即 的系数之和为零，故本题只有 一种情况．因此必须有 且 ．故 应满足的条件是
 
解得 ．
此时，原式 ．
1.2.8★★如果 ，且 ，求 的最大和最小值．
解析（1）当 时，有
  ，
所以 ．
（2）当 时，有
 ，
所以 ．
综上所述， 的最值是3，最小值是 ．
1.2.9★★求代数式 的最小值．
 
解析 设 ，根据绝对值的几何意义，我们知道 表示数轴上对应 的点到对应 、 、 的点的距离之和，下面分类讨论：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
因此，当 时， 取最小值25．
1.2.10★★如果 为有理数，求代数式 的最小值．
解析 分 ， ， ， ， 五个部分进行讨论．去掉绝对值符号，经过化简得到：
当 时，原式 ，最小值为17；
当 时，原式 ，最小值为15；
当 时，原式 ，是一固定值；
当 时，原式 ，最小值大于15；
当 时，原式 ，最小值大于15．
综上所述，原代数式的最小值为15．
评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点 ，使它到 、 、1、3的距离之和最小．这一点显然应在 与 之间（包括这两点）的任意一点，它到 、 、 、 的距离之和为15，就是要求的最小值．
1.2.11★★已知 ， ，且
 ，
求 的最大值和最小值．
解析由题设条件知： ， ．
于是 ， ．所以
（1）当 时，有
 
 
 ，
所以  ．
（2）当 时，有
 ，
所以  ．
因此， 的最大值是为7，最小值为3．
1.2.12★★已知
 ，求 的最大值．
解析 首先使用“零点分段法”将 化简，然后在各个取值范围内求出 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
有三个分界点： ， ， ．
（1）当 时， ，由于 ，所以 ， 的最大值是 ．
（2）当 时， ，由于 ，所以 ， 的最大值是6．
（3）当 时， ，由于 ，所以 ， 的最大值是6．
（4）当 时， ，由于 ，所以 ， 的最大值是0．
综上可知，当 时， 取得最大值为6．
1.2.13★★★设 ，求
 的最小值．
解析 设 、 、 、 、 在数轴上的对应点分别为 、 、 、 、 ，则 表示线段 之长，同理， ， ， 分别表示线段 ， ， 之长，现要求 ， ， ， 这和的值最小，就是要在数轴上找一点 ，使该点到 、 、 、 四点距离之和最小．
因为 ，所以 、 、 、 的排列应如图所示：
 
所以当 在 、 之间时，距离和最小，这个最小值为 ，即 ．
1.2.14★★ 、 为有理数，且 ，试求 的值．
解析 当 时，由 得 ，故此时 ．
当 时，由 ，得 ，故此时 ．
所以，不管是 还是 ， 、 中至少有一个为0，因此， ．
1.2.15★★若 、 、 为整数，且 ，试计算 的值．
解析 因为 、 、 均为整数，则 ， 也应为整数，且 ， 为两个非负整数，和为1，所以只能是
 且 ，   ①
或者 且 ．  ②
由①有 且 ，于是 ；由②有 且 ，于是 ．无论①或②都有
 且 ，
所以  ．
1.2.16★★★将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为 ，另一个数记为 ，代入代数式 中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得 个值，求这50个值的和的最大值．
解析 代数式 的值就是 、 中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，…，100这50个数中任两个分成一组即可．
对于任意一组中的两个数 、 ，不妨设 ，则代数式
 ．
于是这50个值之和与大数 有关，所以，这50个值的和的最大值为
 ．
1.2.17★★★设 个有理数 ， ，…， 满足
 ，且
 ，
求 的最小值．
解析 先估计 的下界，由 ，及 ，知
 
 ，
所以， ．
又当 时，取
 
满足已知条件，所以，正整数 的最小值为20．
1.3实数的判定
1.3.1★★证明循环小数 是有理数．
解析 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设
 ，     ①
两边同乘以100得
 ．  ②
② ①得
 ，
所以   ．
既然 能写成两个整数比的形式，从而也就证明了 是有理数．
1.3.2★★已知 是无理数，且 是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：
（1） 是有理数；
（2） 是无理数；
（3） 是有理数；
（4） 是无理数．
哪些是正确的？哪些是错误的？
解析 取无理数 ，这时
 
是有理数，而 是无理数，故结论（1）不正确．仍取 ，仿上可知结论（3）不正确．由于
 ，
且 是有理数， 是无理数，故 是无理数，即结论（2）正确．同样，由
 ，
知结论（4）正确．
1.3.3★★求证： 是有理数．
解析 要证明所给的数能表示成 （ ， 为整数， ）的形式，关键是要证明  是完全平方数．
 
 
 
 
 ，
所以
 ．
因为 与3均为整数，所以 是有理数．
1.3.4★★证明 是无理数．
解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．
假设 不是无理数，则 必为有理数．设 （ 、 是互质的正整数），两边平方有
 ，①
所以 一定是偶数．设 （ 是正整数），代入①得
 ， ，
所以 也是偶数． 、 均为偶数和 与 互质矛盾，所以 不是有理数，于是 是无理数．
评注只要 是质数， 就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成．
1.3.5★★设 是正整数， 是有理数，则 必是完全平方数；反过来，如果 是完全平方数，则 是有理数（而且是正整数）．
解析第二个结论显然成立，下面证明第一个结论．因 是有理数，故可设 （ 、 为互质的正整数），从而
 ．       ①
我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见，如果 不是完全平方数，那么无论 与 有无相同的质因数，在 的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即 不是平方数．
这样①式不可能成立．所以， 是完全平方数．
评注 本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它．有了这个结论，可以立即断定 、 、 等都是无理数．
1.3.6★★设 、 及 都是整数，证明： 及 都是整数．
解析 由于负数不能开平方，故由题设知 、 都是非负整数．若 或 ，易知结论成立．若 、 都是正整数，由 ，两边平方得
 ，
所以 ．
由所设 、 及 都整数，故 是有理数，从而 是平方数，故 是整数，从而 是整数．
1.3.7★★求满足等式
 
的有理数 、 ．
解析 把原式两边立方，得
 ．
因 、 是有理数，故
 
解得 ， 或 ， ，易检验它们都满足原式．
1.3.8★★求满足条件
 
的正整数 、 、 ．
解析将原式两边平方得
 ．①
显然， 是无理数，假设 是有理数，则 是有理数，这与①式矛盾，所以 必为无理数．
由①式变形为
 ．
假设 ，则 必为非零有理数，设为 ，即 ，所以有
 ，
两边平方得
 ，
所以 ．
因为 ，所以 是无理数，而 是有理数，矛盾．所以
 且 ．
所以
又因为 ，所以 ，所以满足条件的正整数为： ， ， 或 ， ， ．
1.3.9★★若 （其中 、 、 、 为有理数， 为无理数），则 ， ，反之，亦成立．
解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．
将原式变形为 ．若 ，则 ．
因为 是无理数，而 是有理数，矛盾．所以必有 ，进而有 ．
反之，显然成立．
评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质．
1.3.10★★设 与 是两个不相等的有理数，试判断实数 是有理数还是无理数，并说明理由．
解析  假设 是有理数，设其为 ，即
 ．
整理得   ．
由1.3.9题知
 ， ，
即 ，这与已知 矛盾．所以原假设 是有理数错误，故 是无理数．
评注 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时，可以先找到一个立足点，如本例以 为有理数作为立足点，以其作为推理的基础．
1.3.11★★★已知 、 是两个任意有理数，且 ，求证： 与 之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）．
解析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．
因为 ，所以 ，所以
 ．
设 ， 显然是有理数（因为 、 为有理数）．因为 ，所以，同理可证 ．设 ， 显然也是有理数，依此类推，设 ，  为任意正整数，则有 ，且 为理数，所以在 和  之间存在无穷多个有理数．
1.3.12★★★已知在等式 中， 、 、 、 都是有理数， 是无理数，问：
（1）当 、 、 、 满足什么条件时， 是有理数；
（2）当 、 、 、 满足什么条件时， 是无理数．
解析 （1）当 ， 时， 为有理数．
当 时，有
 ，
所以，只有当 ，即 时， 为有理数．
故当 ，且 ；或 ，且 时， 为有理数．
（2）当 ， ， 时， 为无理数．
当 时，有
 ，
故只有当 ，即 时， 为无理数．
所以，当 ， ， ；或 ， ， 为无理数．
1.3.13★★已知 、 是两个任意有理数，且 ，问是否存在无理数 ，使得 成立？
解析 因为 ， ，所以
 ，
即 ．  ①
又因为 ，所以
 ，
即 ．   ②
由①，②有
 ，
所以 ．
取
 ．
因为 、 是有理数，且 ，所以 是无理数，即存在无理数 ，使得 成立．
1.3.14★★已知数 的小数部分是 ，求
 
的值．
解析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法．
因为 ，即 ，所以 的整数部分为3．设 ，两边平方得
 ，
所以 ．
 
 ．
1.3.15★★已知： 、 是有理数， ，且满足 ，试求 的值．
解析 将 代入方程 ，得
 ，
化简，得 ．
因为 、 都是有理数，则
 
解方程组，得 所以 ．
评注 本题应用到了性质：若 、 为有理数， 为无理数， ．
1.3.16★★若 为正整数，求证：
 
必为无理数．
解析 只需证 为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可．
因为 ，
又因为 ，
所以 ．
而 与 是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数 ，数 不可能是完全平方数，即 必为无理数．
1.3.17★★★若 、 是正整数， 、 是实数，问是否存在三个不的素数 、 、 ，满足 ， ， ？
解析 假设存在三个不同的素数 、 、 ，满足 ， ， ．其中， 、 为实数， 、 是正整数．
消去 、 ，得
 ，
即 ．   ①
①式的两边立方，得
 ．②
将①式中的 代入②式，得
 ．
但是 是无理数，故上面等式有矛盾．因此，不存在在个不同的素数 、 、 ，满足 ， ， ．
1.3.18★★★★设 是 的个位数字， ，2，3，…，求证： ． 是有理数．
解析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证 是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．
计算 的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．发 现： ， ， ， ，…，于是猜想： ，若此式成立，说明 是由20个数字组成循环节的循环小数，即
 ．
下面证明 ．
令 ，当 是10的倍数时，表明 与 有相同的个位数，而
 
 
 ．
由前面计算的若干值可知： 是10的倍数，故 成立，所以 是一个有理数．
1.3.19★★已知 、 、 、 均为有理数，如果它们中有三个数相等，求 、 的值．
解析 依题意， ，否则 无意义．
若 ，则 ，矛盾．
所以 ．
若 ，则由 或 都得到 ，矛盾．所以 ．
因此，三个相等的代数式只能是：
（1） 或（2） ．
由 得 ．
当 时，由（1）得 ，矛盾；由（2）得 ，矛盾．所以 ．
当 时，由（1）得 ， ， ．
由（2）得 ， ， ．
所以 ， ．
1.3.20★★★ 表示不超过实数 的最大整数，令 ．
（1）找出一个实数 满足 ；
（2）证明：满足上述等式的 ，都不是有理数．
解析 设 ， ， ， ，则 、 是整数， ， ．由题设 ，所以 ，
 ，
 ．
令 ，则 ，再验证它满足
 ．
（1）取 ，则 ，于是 ， ，所以
 ．
（2）设 ， ，其中 、 是整数， ， ．则 ， ．于是
 ，
 ．
当 时， ，均不满足
 ．
当 时，若
 ，
其中 为正整数，则
 ．
由于 ，且 与 同奇偶，所以
 或 均不可能．故 不是完全平方数，从而 是无理数．
1.3.21★★★★设 、 是实数，对所有正整数 ， 都是有理数，证明： 是有理数．
解析 由题意， ， ， ，…都是有理数．而 有如下“递推关系”：
 ，
所以
 ，
 ，
从中解出 即可．
设 ， ，则有
 ，
 ，
消去 ，得
 
 ．
所以，当 ，即 时，
 
是有理数．
当 时，若 、 全为0，则结论成立；若 、 中恰有一个为0，不妨设 ，则 为有理数，从而 为有理数；若 ，且 、 均不为0，则
 
 
 
是有理数．
从而命题得证．
评注 本题分析中给出的递推关系： 非常重要．遇到涉及 类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题．
1.3.22★★★★设 是给定的正有理数．
（1）若 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数 、 、 ，使得
 ；
（2）若存在3个正有理数 、 、 ，满足
 ．
证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长， 、 、 都是有理数，且 ， ．
若 ，则 ， ．这与 、 、 都是有理数的假定矛盾，故 ．
不妨设 ，取 ， ， ，则 、 、 都是正有理数，且
 ，
 ．
（2）设三个正有理数 、 、 满足 ，则 ．取 ， ， ，则 、 、 都是正有理数，且
 ，
 
 
 ，
即存在一个三边长 、 、 都是正有理数的直角三角形，它的面积等于 ．