高三数学选修2-2复习测试卷(含答案)

 
新田一中选修2-2课后作业（十三）
班级___________   姓名___________学号___________

1．下面使用类比推理恰当的是(　　)．
A．“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a•b)c＝ac•bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于(　　)．
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110     B．1 111 111    C．1 111 112     D．1 111 113
3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色
(　　)．
 
A．白色   B．黑色
C．白色可能性大   D．黑色可能性大
4．设0<θ<π2，已知a1＝2cos θ，an＋1＝2＋an，猜想an＝(　　)．
A．2cos θ2n     B．2cos θ2n－1     C．2cos θ2n＋1    D．2 sinθ2n

5．设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.

6．观察下列各式
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….
这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．

7．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)
 
试求第七个三角形数是________．

8．已知正项数列{an}满足Sn＝12an＋1an，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.

1．下面使用类比推理恰当的是
(　　)．
A．“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a•b)c＝ac•bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析　由实数运算的知识易得C项正确．
答案　C
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于
(　　)．
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110   B．1 111 111
C．1 111 112   D．1 111 113
解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.
答案　B
3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色
(　　)．
 
A．白色   B．黑色
C．白色可能性大   D．黑色可能性大
解析　由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．
答案　A
4．设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.
解析　x2＝f(x1)＝21＋2＝23，x3＝f(x2)＝12＝24
x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25，∴xn＝2n＋1.
答案　23，24，25　2n＋1
5．观察下列各式
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….
这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．
解析　由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.
答案　(n＋2)2－n2＝4n＋4
6．已知正项数列{an}满足Sn＝12an＋1an，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解　a1＝S1＝12a1＋1a1，
又因为a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，Sn＝12an＋1an，Sn－1＝12an－1＋1an－1，
两式相减得：
an＝12an＋1an－12an－1＋1an－1，
即an－1an＝－an－1＋1an－1，
所以a2－1a2＝－2，又因为a2>0，所以a2＝2－1.
a3－1a3＝－22，又因为a3>0，所以a3＝3－2.
a4－1a4＝－23，又因为a4>0，所以a4＝2－3.
将上面4个式子写成统一的形式：
a1＝1－0，a2＝2－1，a3＝3－2，a4＝4－3，
由此可以归纳出an＝n－n－1.(n∈N＋)
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7．下列推理正确的是
(　　)．
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
解析　A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B错误，因为sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；对于C，则有(x＋y)n＝C0nxn＋C1nxn－1•y＋…＋Crn•xn－r•yr＋…＋Cnnyn；D正确，为加乘法的结合律，故选D.
答案　D
8．设0<θ<π2，已知a1＝2cos θ，an＋1＝2＋an，猜想an＝
(　　)．
A．2cos θ2n   B．2cos θ2n－1
C．2cos θ2n＋1   D．2 sinθ2n
解析　法一　∵a1＝2cos θ，
a2＝2＋2cos θ＝2 1＋cos θ2＝2cos θ2，
a3＝2＋a2＝2 1＋cos θ22＝2cos θ4，…，
猜想an＝2cos θ2n－1.
法二　验n＝1时，排除A、C、D，故选B.
答案　B
9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)
 
试求第七个三角形数是________．
解析　观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，∴当n＝7时，7×7＋12＝28.
答案　28
10．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质．
性质①_____________________________________________________；
性质②_________________________________________________________.
答案　六条棱长相等　四个面都全等
11．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
解　(1)数列 S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等数数列，且公差为300.
该结论是正确的．(证明略)
(2)对于∀k∈N*，都有
数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.
12．(创新拓展)如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
 
解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝ac2＋bc2＝a2＋b2c2＝c2c2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
 
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ml2＋nl2＋gl2＝m2＋n2＋g2l2＝l2l2＝1.