2018届高三数学（理）上学期期末考试试卷（天津市和平区带答案）

天津市和平区2018届高三上学期期末考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （    ）
A．                B．
C．        D．
2．“ ”是“关于 的方程 有实数根”的（    ）
A．充分不必要条件         B．必要不充分条件
C．充要条件               D．既不充分也不必要条件
3．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（    ）
A．9         B．5       C．1        D．-5
4．已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（    ）
A．          B．        C．          D．
5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为（    ）
 
A．72         B．90       C．101         D．110
6．将函数 的图象向左平移 个单位，得到图象对应的解析式为（    ）
A．                B．
C．          D．
7．如图，正方形 的边长为2， 为 的中点， ，且 与 相交于点 ，则 的值为（    ）
 
A．          B．        C．          D．
8．已知函数 若始终存在实数 ，使得函数 的零点不唯一，则 的取值范围是（    ）
A．          B．        C．          D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．已知 是虚数单位，则复数           ．
10． 的展开式中 的系数为          ．（用数字作答）
11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为          ．
 
12．已知 ，则 的最小值为          ．
13．已知函数 ，若 ，则 的值为          ．
14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为          ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．在 中，角 所对的边分别是 ，且 .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积.
16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为 、 、 ，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.
（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；
（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
17．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为 的中点， 为 的中点，点 在线段 上， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证： 平面 ；
（Ⅲ）求 与平面 所成角的正弦值.
 
18．已知 是等差数列， 是等比数列，其中 ， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 .
19．已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的短轴为直径的圆与直线 相切.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆过右焦点 的弦为 、过原点的弦为 ，若 ，求证： 为定值.
20．已知函数 ， ，且曲线 与 在 处有相同的切线.
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求证： 在 上恒成立；
（Ⅲ）当 时，求方程 在区间 内实根的个数.
 

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科
期末质量调查试卷参考答案
一、选择题
1-4:CABD       5-8:BDAC
二、填空题
9．            10．60           11．
12．-1          13．4           14．480
三、解答题
15．解：（Ⅰ）由 及正弦定理，得 .
∵ ，
∴ .
由余弦定理，得
 .
（Ⅱ）由已知 ， ，得 .
∵在 中， 为锐角，且 ，
∴ .
∴ .
由 ， 及公式 ，
∴ 的面积 .
16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ，
则事件“甲同学进入复赛的”表示为 .
∵ 与 互斥，且 彼此独立，
∴
 
 .
（Ⅱ）随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3.
 ，
  ，
  ，
 .
所以，随机变量 的分布列为
 
数学期望 .
17．（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
∵ ， ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ .
∵ ， 为 的中点，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
（Ⅱ）证明：依题意， 平面 ， ，如图，
 
以 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系.
可得 ， ， ， ， ， ， .
∵平面 的一个法向量 ， ，
∴ ，即 .
∵ 平面 ，
∴ 平面 .
（Ⅲ）解：设平面 的法向量为 ，则 ， .
由 ， ，得
令 ，得 ， ，即 .
设 与平面 所成角为 ，
∵ ，
∴
 .
∴ 与平面 所成角的正弦值为 .
18．解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
由 ，得 ， ，
由 ， ，得 ， ，
∴ .
∴ 的通项公式 ， 的通项公式 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， ，
故 .
则 .
令 ，①
则 ，②
由②-①，得  .
∴  .
19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线 的距离为 ，
则有 .
由 ，得 .
∴椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）证明：（1）当直线 的斜率不存在时，易求 ， ，
则 .
（2）当直线 的斜率存在时，
设直线 的斜率为 ，依题意 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
设 ， ， ， ，
由 得 ，
则 ， ，
 
 
 .
由 整理得 ，则 .
 .
∴ .
综合（1）（2）， 为定值.

20．解：（Ⅰ）∵ ， ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ， .
∵ ，即 ，
∴ .
（Ⅱ）证明：设 ，
 .
令 ，则有 .
当 变化时， 的变化情况如下表：
 
∴ ，即 在 上恒成立.
（Ⅲ）设 ，其中 ，
 .
令 ，则有 .
当 变化时， 的变化情况如下表：
 
∴  .
 ，
设 ，其中 ，则 ，
∴ 在 内单调递减， ，
∴ ，故 ，而 .
结合函数 的图象，可知 在区间 内有两个零点，
∴方程 在区间 内实根的个数为2.