2018高考数学一轮复习（文科）天天练训练题14（有答案）

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M 天天练 14　三角函数的性质
一、选择题
1．(2018•天津河东区模拟)函数y＝sinπ2－2x，x∈R是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π2的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π2的偶函数
答案：C
解析：函数y＝sinπ2－2x＝cos2x，显然函数是偶函数，且最小正周期T＝2π2＝π.故选C.
2．(2018•云南大理一模)函数f(x)＝3sinx＋π6在x＝θ处取得最大值，则tanθ＝(　　)
A．－33　　B.33
C．－3    D.3
答案：D
解析：由题意，函数f(x)＝3sinx＋π6在x＝θ处取得最大值，∴θ＝2kπ＋π3(k∈Z)，∴tanθ＝3.故选D.
3．(2018•广东惠州一模)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为(　　)
A.34  B．1
C.32  D．2
答案：C
解析：y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.设t＝sinx，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2t－122＋32，所以当t＝12时，函数y取得最大值为32.故选C.
方法总结　有关三角函数的最值的求解方法
有关三角函数的最值常用方法有以下几种：①化成y＝asin2x＋bsinx＋c的形式，利用配方法求最值；②形如y＝asinx＋bcsinx＋d的可化为sinx＝φ(y)的形式性求最值；③y＝asinx＋bcosx型，可化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)求最值；④形如y＝a(sinx±cosx)＋bsinxcosx＋c的可设sinx±cosx＝t换元后利用配方法求最值．本题是利用①的思路解答的．
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意的x∈R，有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A.－2π3，0  B.－π3，0
C.2π3，0    D.π3，0
答案：A
解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f(x)＝sin12x＋π3.令12x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－2π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ－2π3，0(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为－2π3，0，故选A.
5．(2018•南昌一模)已知f(x)＝cos2x＋acosπ2＋x在区间π6，π2上是增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－2，＋∞)  B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－4)  D．(－∞，－4]
答案：D
解析：f(x)＝cos2x＋acosπ2＋x＝1－2sin2x－asinx在π6，π2上是增函数，y＝sinx在π6，π2上单调递增且sinx∈12，1.令t＝sinx，t∈12，1，则y＝－2t2－at＋1在12，1上单调递增，则－a4≥1，因而a∈(－∞，－4]．
6．(2018•沈阳质检)已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间为(　　)
A．2π，3π8，7π8  B．π，3π8，7π8
C．2π，－π8，3π8  D．π，－π8，3π8
答案：D
解析：f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x－π4，则f(x)的最小正周期T＝π，由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ，k∈Z，结合选项知，f(x)的一个单调递增区间为－π8，3π8.
 
7．(2018•广东韶关六校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z
B.2kπ－π4，2kπ＋π4，k∈Z
C.kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z
D.2kπ－π3，2kπ＋π6，k∈Z
答案：A
解析：由图可知A＝2，T＝4×π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.
∵由图可得点π12，2在函数图象上，
∴2sin2×π12＋φ＝2，
∴2×π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z.由|φ|<π2，可得φ＝π3，
∴f(x)＝2sin2x＋π3，将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象的函数解析式为g(x)＝2sin2x－π6＋π3＝2sin2x.由2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2，k∈Z，可得kπ－π4≤x≤kπ＋π4，k∈Z，∴函数g(x)的单调递增区间为kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z.故选A.
8．函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2在同一个周期内，当x＝π4时，y取得最大值1，当x＝7π12时，y取得最小值－1.若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0<a<1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和为(　　)
A.11π2  B.9π2
C.7π2   D.5π2
答案：A
解析：由题意可得2πω＝2×7π12－π4，所以ω＝3.
又sin3π4＋φ＝1，所以3π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝2kπ－π4(k∈Z)．
又|φ|<π2，所以φ＝－π4，
所以函数f(x)＝sin3x－π4.
由于f(x)＝sin3x－π4的最小正周期为23π，所以f(x)＝sin3x－π4在[0,2π]内恰有3个周期，所以sin3x－π4＝a(0<a<1)在[0,2π]内有6个实根，由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
令3x－π4＝2kπ＋π2，k∈Z，可得x＝π4＋2kπ3，k∈Z.
依据f(x)图象的对称性可得x1＋x2＝2×π4＝π2，x3＋x4＝2×π4＋2π3＝116π，x5＋x6＝2×π4＋4π3＝196π，
故所有实数之和为x1＋x2＋…＋x6＝π2＋11π6＋19π6＝11π2.故选A.
二、填空题
9．(2018•常州八校联考(一))在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos2x|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．
答案：①③
解析：①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②y＝cos2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos2x|的最小正周期为π2；③y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；④y＝tan2x的最小正周期T＝π2.因此①③的最小正周期为π.
10．(2018•上海长宁区延安中学期中)函数y＝tan2x－π3的单调递增区间为________．
答案：－π12＋kπ2，5π12＋kπ2(k∈Z)
解析：函数y＝tan2x－π3，令－π2＋kπ<2x－π3<π2＋kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ2<x<5π12＋kπ2，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为－π12＋kπ2，5π12＋kπ2(k∈Z)．
11．(2018•安徽淮北一模)函数y＝2sinx＋2cosx－sin2x＋1，x∈－5π12，π3的值域是________．
答案：32－2，3
解析：根据题意，令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sin2x＝t2－1，∴y＝f(t)＝2t－(t2－1)＋1＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3.又∵t＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，且x∈－5π12，π3，∴x＋π4∈－π6，7π12，∴sinx＋π4∈－12，1，∴－22≤t≤2.∴当t＝1时，f(t)取得最大值3；t＝－22时，f(t)取得最小值32－2.∴函数y＝f(t)的值域为32－2，3.
易错警示　求值域时忽略三角函数的有界性致错
处理与正弦、余弦函数有关的复合函数的值域时，一定要注意三角函数的取值具有有界性，以及定义域对三角函数取值范围的影响．
三、解答题
12．(2017•浙江卷，18)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23•sinxcosx(x∈R)．
(1)求f2π3的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，
f2π3＝322－－122－23×32×－12，得f2π3＝2.
(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinx•cosx得
f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.
所以，f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)． 文章来源
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