2018陕西高三数学（普通班）第一次大检测试题（理附答案）

高三普通班第一次质量大检测理科
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的实部为     （   ）
   A． 　     B． 　   C．－ 　    D．－
2.集合            ,则           （    ）

A.                B.          C.       D. 
3.设等差数列 的前 项和为 ， ， ，则公差 的取值范围是   （    ）
A.          B.        C.            D.  
4.已知“ ”，且“ ”，则“ ”是“ ”的    （    ）
A.充分不必要条件          B.必要不充分条件
C.充要条件           D.既不充分也不必要条件
5.若 的展开式中 的系数为 ，则 （   ）
A．                  B．              C．               D．
6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（   ）
 
A．                B．            C．           D．
7.已知 ，则 （   ）
A．               B．            C．          D．
8.函数 的大致图象为（   ）
            
       A．                 B．                 C．                  D．
9.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的前10项和为
A.          B.           C.        D.
10. 已知函数 在 上单调,且函数 的图象关于 对称,若数列 是公差不为0的等差数列,且 ,则 的前100项的和为
A．  B．  C．  D．  
11.已知 ，两直角边 ， 是 内一点，且 ，
设 ，则 
A.    B.         C.          D. 
12.已知函数 的定义域为 ，若对于 分别为某个三角形的边长，则称 为“三角形函数”.给出下列四个函数：
① ； ② ；③ ；④ .其中为“三角形函数”的个数是  
A.          B.            C.                D.  
第 Ⅱ 卷
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（13）若 ，且 ，则 的最小值是__________
（14）若 ，则  + − +…+ 的
值为         
（15）已知 、 、 是球 的球面上三点， ， ， ，且棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为___________
（16）已知 外接圆 的半径为1，且 .若 ，则 的最大值为__________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，记数列 的前 项和为 ．证明： ．

18．（本小题满分12分）
据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：

分组 

频数 
18 49 24 5

（Ⅰ）求 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?
（Ⅱ）若导游的奖金 （单位：万元），与其一年内旅游总收入 （单位：百万元）之间的关系为 ，求甲公司导游的年平均奖金；
（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在 的总人数中，随机的抽取 人进行表彰，设来自乙公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
19. 如图，四棱锥 中， 为等边三角形，且平面 平面 ， ， ， .
 
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.
20. 已知圆 经过椭圆 ： 的两个焦点和两个顶点，点 ，  ， 是椭圆 上的两点，它们在 轴两侧，且 的平分线在 轴上， .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）证明：直线 过定点.
21.（本题满分12分）
设函数f(x)=ax2+b，其中a,b是实数.
(Ⅰ)若ab>0，且函数f[f(x)]的最小值为2，求b的取值范围；
(Ⅱ)求实数a, b满足的条件，使得对任意满足xy=1的实数x, y，都有f(x)+f(y)≥f(x)f(y)成立.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数， ），将曲线 经过伸缩变换： 得到曲线 .
（1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；
（2）若直线 ： （ 为参数）与 ， 相交于 ， 两点，且 ，求 的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 .
（1）若 的最小值不小于 ，求 的最大值；
（2）若 的最小值为 ，求 的值.
 
参考答案
CAAB   DCBA    BBAC
13.  4           14.  -1          15.48          16.

17.解：（I）当 时，有 ，解得 .
当 时，有 ，则
 
整理得： 
   数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列．
   
即数列 的通项公式为： ．     ……………………………6分
（II）由（I）有 ，则
 
    
 
 
易知数列 为递增数列
     ，即 .       ………………………………………12分
18.解：（I）由直方图知： ，有 ，
由频数分布表知： ，有 ．
      甲公司的导游优秀率为： ；
乙公司的导游优秀率为： ；
由于 ，所以甲公司的影响度高．    ………………………4分
（II）甲公司年旅游总收入 的人数为 人；
年旅游总收入 的人数为 人；
年旅游总收入 的人数为 人；
故甲公司导游的年平均奖金 （万元）．  ……8分
（III）由已知得，年旅游总收入在 的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故 的可能取值为 ，易知：
 ；
 .
    的分布列为：

         
    的数学期望为： ． …………12分
19.【答案】证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：
（Ⅰ）取 的中点为 ，连接 ， ，结合条件可证得 平面 ，于是 ，又 ，故可得 ．（Ⅱ）由题意可证得 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面 和平面 的法向量可求解本题．
试题解析：
证明：（Ⅰ）取 的中点为 ，连接 ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ .
在底面 中，可得四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
又 ，
∴ .
（Ⅱ）∵平面 面 ， ，
∴ 平面 ，
由此可得 ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
 
∵直线 与平面 所成角为 ，即 ，
由 ，知 ，得 .
则 ， ， ， ，
 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 .
由 ，得 ．
令 ，则 ．
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ．
令 ，则 ，
∴     ，
由图形知二面角 为钝角，
∴二面角 的余弦值为 .

20.【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）直线 过定点 .
【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知  ,故 ,由此求得椭圆方程.(II)设出直线 的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出 的斜率并相加,由此求得直线 过定点 .
【试题解析】
（Ⅰ）圆 与 轴交点 即为椭圆的焦点，圆 与 轴交点 即为椭圆的上下两顶点，所以 ， .从而 ，
因此椭圆 的方程为： .
（Ⅱ）设直线 的方程为 .
由 ，消去 得 .
设 ， ，则 ， .
直线 的斜率   ；
直线 的斜率   .
       .
由 的平分线在 轴上，得 .又因为 ，所以 ，
所以 .
因此，直线 过定点 .
21.解：(1)由题， f[f(x)]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，记t=x2
当ab>0时，二次函数 的对称轴 <0,
显然当 时，不符合题意，所以 ，
所以当 时，f[f(x)]取到最小值，即有
从而   ，解得 ；             
(2)∵  ，即 ，且 ，
∴  ，
即 .         
令 ，则 要恒成立，
需要 ，此时 在 上是增函数，
所以 ，
即 ， 
所以实数a,b满足的条件为            
22.解：（1） 的普通方程为 ，
把 ， 代入上述方程得， ，
∴ 的方程为 .
令 ， ，
所以 的极坐标方程为   .
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，
由 得 ，
由 得 .
而 ，∴ .
而 ，∴ 或 .
23.解：（1）因为 ，所以 ，
解得 ，即 .
（2）  .
当 时， ， ，所以 不符合题意.
当 时， ，即 ，
所以 ，解得 .
当 时，同法可知 ，解得 .
综上， 或 .