2018威海市高考文科数学第二次模拟考试试卷（附答案）

山东省威海市2018届高三下学期第二次模拟考试试卷
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ， ， ，则集合 （    ）
A．          B．           C．           D．
2．若复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数 的取值范围是（    ）
A．            B．             C．             D． 
3．对任意非零实数 ，若 的运算原理如图所示，则 的值为（    ）
 
A．2         B．           C．3          D．
4．已知命题 ： “ ”，命题 ：“ ”，则下列为真命题的是（    ）
A．          B．           C．           D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）
 
A．18       B．24       C．32        D．36
6．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（    ）
A．         B．        C．          D． 
7．已知椭圆 左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，则 的最大值为（    ）
A．         B．        C．         D．
8．曲线 ： 如何变换得到曲线 ： （    ）
A．向左平移 个单位        B．向右平移 个单位      
C．向左平移 个单位         D．向右平移 个单位
9．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，以 为圆心， 为半径的圆交 的右支于 两点，若 的一个内角为 ，则 的离心率为（    ）
A.    B.             C.              D. 
10．已知函数 ，则不等式 的解集为（    ）
A．             B．         C．          D．
11．设 均为小于1的正数，且 ，则（    ）
A．          B．         C．         D．
12．在数列 中， ，一个7行8列的数表中，第 行第 列的元素为
 ，则该数表中所有元素之和为（    ）
A．             B．           C．           D．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在 中，在 边上任取一点 ，满足 的概率为       .
14．在平行四边形 中， 分别为边 的中点，若 （ ），则        .
15．设 满足约束条件 ，则 的最大值为       .
16．已知正三棱柱 ，侧面 的面积为 ，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为      . 
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在 中，边 上一点 满足 ， .
（1）若 ，求边 的长；
（2）若 ，求 .
18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.
 
（1）求 的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额 与年龄 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程 .已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
 
 ，其中
19．多面体 中， ， ， 是边长为2的等边三角形，四边形 是菱形， ， 分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
 
20．已知抛物线 ： 的焦点 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）已知点 为 上一点， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标.
21．已知函数 ， 为 的导函数.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上存在最大值0，求函数 在 上的最大值；
（3）求证：当 时， .
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若直线 与 相切，求 的直角坐标方程；
（2）若 ，设 与 的交点为 ，求 的面积.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最小值为 ，若 均为正实数，且 ，求 的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B C D C B A D B C A B C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．  　　　　　14．2　　　　　15．4　　　　16．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）∵ ，∴在 中， ，
∴ ，
 中， ，由余弦定理可得，
 
所以
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，化简得 ，
 ，
∵ ，
∴ .
18．解：（1）由频率分布直方图可知， ，
由中间三组的人数成等差数列可知 ，
可解得
（2）周平均消费不低于300元的频率为 ，
因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为 人.
所以 列联表为
 
 
所以有 的把握认为消费金额与性别有关.
（3）调查对象的周平均消费为
 ，
由题意 ，∴
 .
19.（1）证明：取 的中点 ，连接
因为 分别是 的中点，所以在菱形 中， ，
在 中，
又 ，所以 ，
 ，所以平面 平面 ，
 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：连结 ，
 是边长为2的等边三角形，所以 ， ，
四边形 是菱形，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
又 ，所以 平面
 平面 ，所以平面 平面 .
 
20．（1）设 ，由抛物线定义，
又 ，即 ，解得
将点 代入抛物线方程，解得 .
（2）由（1）知 的方程为 ，所以点 坐标为
设直线 的方程为 ，点
由 得 ，责任 ，
所以
 ，解得
所以直线 方程为 ，恒过点 .
21．解：（1）由题意可知，  ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增；
当 时，解得 时， ， 时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由（1）可知， 且 在 处取得最大值，
 ，即 ，
观察可得当 时，方程成立
令 ，
当 时， ，当 时，
∴ 在 上单调递减，在 单调递增，
∴ ，
∴当且仅当 时， ，
所以 ，由题意可知 ， 在 上单调递减，
所以 在 处取得最大值
（3）由（2）可知，若 ，当 时， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
令 ， ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，即 ，
 
所以当 时， .
22．解：（1）由 可得 的直角坐标方程为
 ，即 ，
 消去参数 ，可得 ，设 ，
则直线 的方程为
由题意，圆心 到直线 的距离 ，解得
所以直线 的直角坐标方程为
（2）因为 ，所以直线方程为 ，
原点到直线 的距离
联立 解得 或
所以 ，所以 .
23．解：（1）
所以 等价于 或 或
解得 或 ，所以不等式的解集为 或
（2）由（1）可知，当 时， 取得最小值 ，
所以 ，即
由柯西不等式 ，
整理得 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .