2017年池州市高一数学下期末试卷（附答案和解释）

2016-2017学年安徽省池州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个正确选项.）
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式an=（　　）
A．n2﹣n+1 B．  C．  D．2n+1﹣3
2．当a=3时，如图的程序段输出的结果是（　　）
 
A．9 B．3 C．10 D．6
3．在△ABC中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角A=（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．某学校有教职员工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（　　）
A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16
5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　）
A．  B．  C．  D．
6．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
7．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（　　）
A．40 B．42 C．43 D．45
8．如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
9．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（　　）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
10．设有一个直线回归方程为 =2﹣1.5 ，则变量x增加一个单位时（　　）
A．y 平均增加 1.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位
C．y 平均减少 1.5 个单位 D．y 平均减少 2 个单位
11．等比数列{an}中，a5a14=5，则a8a9a10a11=（　　）
A．10 B．25 C．50 D．75
12．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（　　）
A．  B．1+  C．2 ﹣2 D．2﹣
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.）
13．不等式5﹣x2＞4x的解集为　   　．
14．如图，该程序运行后输出的结果为　   　．
 
15．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为　   　．
16．等差数列{an}前n项和为Sn，已知a1=13，S3=S11，n为　   　时，Sn最大．
　
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？
18．某人射击一次命中7～10环的概率如下表
命中环数 7 8 9 10
命中概率 0.16 0.19 0.28 0.24
计算这名射手在一次 射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不足8环的概率．
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值； 
（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
20．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
21．为了了解初三女生身高情况，某中学对初三女生身高情况进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：
组　别 频数 频率
145.5～149.5 1 0.02
149.5～153.5 4 0.08
153.5～157.5 20 0.40
157.5～161.5 15 0.30
161.5～165.5 8 0.16
165.5～169.5 m n
合　计 M N
（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
（2）画出频率分布直方图；
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
22．已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn， ，
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．
　
 

2016-2017学年安徽省池州市江南中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（每小题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个正确选项.）
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式an=（　　）
A．n2﹣n+1 B．  C．  D．2n+1﹣3
【分析】3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，an=1+2+3+…+n，利用等差数列的求和公式可求数列的通项公式．
【解答】解：由题意，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，∴an=1+2+3…+n=
故选C．
【点评】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项公式的关键是挖掘各项的规律，再进行猜测．
　
2．当a=3时，如图的程序段输出的结果是（　　）
 
A．9 B．3 C．10 D．6
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 的函数值．
【解答】解：∵
又∵a=3＜10，
故y=2×3=6．
故选D
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
　
3．在△ABC中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角A=（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式利用完全平方公式展开整理后，代入表示出的cosA中求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：把（b+c）2﹣a2=3bc整理得：b2+2bc+c2﹣a2=3bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理得：cosA= = = ，
又A为三角形的内角，
则角A=60°．
故选B
【点评】此题考查了余弦定理，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
　
4．某学校有教职员工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（　　）
A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16
【分析】求出样本容量与总容量的比，然后用各层的人数乘以得到的比值即可得到各层应抽的人数．
【解答】解：由  = ，
所以，高级职称人数为15× =3（人）；
中级职称人数为45× =9（人）；
一般职员人数为90× =18（人）．
所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为3，9，18．
故选B．
【点评】本题考查了分层抽样，在分层抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，此题是基础题．
　
5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．
【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，
至少一次正面朝上的对立事件的概率为 ，
1﹣ = ．
故选D．
【点评】本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．
　
6．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．
【解答】解：由已知得：a= （15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；
b= =15；
c=17，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点评】本题考查平均数为，中位数，众数的求法，是基础题，解题时要认真审题．
　
7．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（　　）
A．40 B．42 C．43 D．45
【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，
得d=3，a5=14，
∴a4+a5+a6=3a5=42．
故选B
【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．
　
8．如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】本题利用几何概型求解．经分析知，只须选择角度即可求出使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率，即算出符合条件：“使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的”的点C所在的位置即可．
【解答】解：选角度作为几何概型的测度，
则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是：
 ．
故选D．
 
【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型中测度的选择等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
　
9．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（　　）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
【分析】根据题意，利用平均数、方差公式直接计算即可．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，
其平均值为 （9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，
方差为  [（9.4﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.6﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2]=0.016，
故选D．
【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．
　
10．设有一个直线回归方程为 =2﹣1.5 ，则变量x增加一个单位时（　　）
A．y 平均增加 1.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位
C．y 平均减少 1.5 个单位 D．y 平均减少 2 个单位
【分析】根据回归直线方程的x的系数是﹣1.5，得到变量x增加一个单位时，函数值要平均增加﹣1.5个单位，即可得到结论．
【解答】解：∵直线回归方程为 =2﹣1.5 ，
∴变量x增加一个单位时，函数值要平均增加﹣1.5个单位，即减少1.5个单位，
故选C．
【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程系数的意义，属于基础题．
　
11．等比数列{an}中，a5a14=5，则a8a9a10a11=（　　）
A．10 B．25 C．50 D．75
【分析】由等比数列的通项公式的性质知a8a9a10a11=（a5a14）2，由此利用a5a14=5，能求出a8a9a10a11的值．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a5a14=5，
∴a8a9a10a11=（a5a14）2=25．
故选B．
【点评】本题考查等比数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
　
12．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（　　）
A．  B．1+  C．2 ﹣2 D．2﹣
【分析】由 ≤ 将方程转化为不等式，利用换元法和二次不等式的解法求出“x+y”的范围，即求出它的最小值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 （当且仅当x=y时取等号），
则 ≤ ，xy≤ ，
∵x+y+xy=2，∴xy=﹣（x+y）+2≤ ，
设t=x+y，则t＞0，代入上式得，t2+4t﹣8≥0，
解得，t≤﹣2﹣2 或t≥2 ﹣2，则t≥2 ﹣2，
故x+y的最小值是2 ﹣2，
故选C．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，还涉及了二次不等式的解法、换元法，利用换元法时一定注意换元后的范围，考查了转化思想和整体思想．
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.）
13．不等式5﹣x2＞4x的解集为　（﹣5，1）　．
【分析】先移项化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．
【解答】解：不等式5﹣x2＞4x化为：x2+4x﹣5＜0，解得﹣5＜x＜1．
所以不等式的解集为：{x|﹣5＜x＜1}；
故答案为（﹣5，1）．
【点评】本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力．
　
14．如图，该程序运行后输出的结果为　19　．
 
【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．
【解答】解：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：
S=1         A=1
S=10         A=2
S=19         A=3
当A=3不满足循环条件，跳出．
该程序运行后输出的结果为19
故答案为：19．
【点评】本题考查当型循环结构，考查对程序知识的综合运用，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法．属于基础题．
　
15．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为　 　．
【分析】首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．
【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，
根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°
在△ABC中有正弦定理有：
 
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理应用，在已知两角一边求另外边时采用正弦定理．
　
16．等差数列{an}前n项和为Sn，已知a1=13，S3=S11，n为　7　时，Sn最大．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，利用已知a1=13，S3=S11，和前n项和公式即可解得d，进而得到an，解出an≥0的n的值即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=13，S3=S11，∴ = ，解得d=﹣2．
∴an=13+（n﹣1）×（﹣2）=15﹣2n．
令an≥0，解得n≤7.5，
因此当n=7时，S7最大．
故答案为7．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．
　
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？
【分析】（1）已知第一枚由6种结果，第二枚有6种结果，根据分步计数乘法原理，把两次的结果数相乘，得到共有的结果数．
（2）比值两个有序数对中第一个数字作为第一枚的结果，把第二个数字作为第二枚的结果，列举出所有满足题意的结果．
（3）本题是一个古典概型由上两问知试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件数是12，根据古典概型的概率公式，做出要求的概率．
【解答】解：（1）第一枚有6种结果，
第二枚有6种结果，由分步计数原理知共有6×6=36种结果
（2）可以列举出两枚骰子点数之和是3的倍数的结果（1，2）（1，5）（2，1）（2，4）
（3，3）（3，6）（4，2）（4，5）（5，1）（5，4）（6，3）（6，6）共有12种结果．
（3）本题是一个古典概型
由上两问知试验发生包含的事件数是36，
满足条件的事件数是12，
∴根据古典概型概率公式得到P= = ．
【点评】本题考查分步计数原理，考查用列举法得到事件数，考查古典概型的概率公式，这是很好的一个题目，把解决古典概型概率的过程分析的层次分明，应引起注意．
　
18．某人射击一次命中7～10环的概率如下表
命中环数 7 8 9 10
命中概率 0.16 0.19 0.28 0.24
计算这名射手在一次 射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不足8环的概率．
【分析】某人射击一次命中7环、8环、9环、10环的事件分别记为A、B、C、D，则可得P（A）=0.16，P（B）=0.19，P（C）=0.28，P（D）=0.24
（1）事件D或C有一个发生，根据互斥事件的概率公式可得
（2）事件A、B、C、D有一个发生，据互斥事件的概率公式可得
（3）考虑“射中环数不足8环“的对立事件：利用对立事件的概率公式P（M）=1﹣P（ ）求解即可
【解答】解：某人射击一次命中7环、8环、9环、10环的事件分别记为A、B、C、D
则可得P（A）=0.16，P（B）=0.19，P（C）=0.28，P（D）=0.24
（1）射中10环或9环即为事件D或C有一个发生，根据互斥事件的概率公式可得
P（C+D）=P（C）+P（D）=0.28+0.24=0.52
答：射中10环或9环的概率0.52
（2）至少射中7环即为事件A、B、C、D有一个发生，据互斥事件的概率公式可得
P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.16+0.19+0.28+0.24=0.87
答：至少射中7环的概率0.87
（3）射中环数不足8环，P=1﹣P（B+C+D）=1﹣0.71=0.29
答：射中环数不足8环的概率0.29
【点评】本题考查了互斥事件有一个发生的概率公式的应用，若A，B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），当一个事件的正面情况比较多或正面情况难确定时，常考虑对立事件．
　
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值； 
（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
【分析】（Ⅰ）先求出sinB= ，再利用正弦定理求sinA的值； 
（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=
∴sinB= ，
∵a=2，b=4，
∴sinA= = = ；
（Ⅱ）S△ABC=4= ×2c× ，∴c=5，
∴b= = ．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
20．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
【分析】先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，结果甲的平均数大于乙的平均数，甲的方差大于乙的方差，得到结论．
【解答】解： ，
 
 
，
∵
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
【点评】本题考查平均数和方差，对于两组数据一般从稳定程度和平均水平两个方面来观察两组数据，本题是一个基础题．
　
21．为了了解初三女生身高情况，某中学对初三女生身高情况进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：
组　别 频数 频率
145.5～149.5 1 0.02
149.5～153.5 4 0.08
153.5～157.5 20 0.40
157.5～161.5 15 0.30
161.5～165.5 8 0.16
165.5～169.5 m n
合　计 M N
（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
（2）画出频率分布直方图；
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
【分析】（1）由频率的意义知，N=1，n=1﹣（0.02+0.08+0.40+0.30+0.16），由第一组的频率和频数，可求得m=2，M=1+4+20+15+8+2，从而得到结论．
（2）频率分布直方图如图．
（3）由频率分步表可得全体女生中身高在153.5～157.5这一组范围内的人数最多．
【解答】解：（1）由频率的意义知，N=1，…
n=1﹣（0.02+0.08+0.40+0.30+0.16）=0.04，…
由第一组的频率和频数，可求得m=2，M=1+4+20+15+8+2=50．…
∴m=2，n=0.04，M=50，N=1．…
（2）频率分布直方图如图．
 …
（3）由频率分步表可得全体女生中身高在153.5～157.5这一组范围内的人数最多，为20人．…
【点评】本题主要考查频率分步表、频率分步直方图的应用，属于基础题．
　
22．已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn， ，
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．
【分析】（1）等差数列{an}中a1=1，公差d=1，由 能求出数列{bn}的通项公式．
（2）由 ，能证明b1+b2+…+bn＜2．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中a1=1，公差d=1
∴
∴ …
（2）∵ …
∴
= …
= …
∵n＞0，
∴
∴
∴b1+b2+…+bn＜2．            …
【点评】本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式的应用和裂项求和法的灵活运用．