人教A版必修2数学模块综合检测试卷（浙江专版有答案和解释）

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
A．相离　 　　　　　　　 B．相切
C．相交  D．不确定
解析：选C　将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C.
2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是(　　)
 
 
解析：选B　由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，E的投影点为PA的中点，EC为实线，故B正确．
3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m  B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥m，m⊂α，则l∥α  D．若l∥α，m⊂α，则l∥m
解析：选A　对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.
4.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为(　　)
A．4  B．2
C.85  D.125
解析：选A　根据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－1kCP＝－11－42＋2＝43，∴切线l的方程为y－4＝43(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故切线l与直线m间的距离d＝|0－20|42＋－32＝4.
5．设a，b为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若a不平行于α，则在α内不存在b，使得b平行于a
B．若a不垂直于α，则在α内不存在b，使得b垂直于a
C．若α不平行于β，则在β内不存在a，使得a平行于α
D．若α不垂直于β，则在β内不存在a，使得a垂直于α
解析：选D　若a不平行于α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直于α，则当a⊂α时，在α内存在直线b，使得b⊥a，故B错误；若α不平行于β，则在β内存在直线a，使得a∥α，故C错误；由平面与平面垂直的判定定理知D正确，故选D.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
 
A.13＋π   B.23＋π
C.13＋2π   D.23＋2π
解析：选A　由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V2＝12×π×12×2＝π，∴V＝13＋π.
7．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A.3172  B．210
C.132  D．310
解析：选C　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径为R＝OA＝62＋522＝132.
8．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)
A．3   B.212
C．22  D．2
解析：选D　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1，由圆的性质知S四边形PACB＝2S△PBC，∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1＝12rd(d是切线长)，∴d最小值＝2，|PC|最小值＝22＋12＝5.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，
∴|PC|最小值＝51＋k2＝5，∵k>0，∴k＝2，故选D.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)
9．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
10．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝－1－10－1＝2，∴kl1＝－12.
∴直线l1的方程为y－1＝－12(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
11．已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．
解析：由于AC∥A1C1，所以∠BA1C1或其补角就是异面直线A1B与AC所成的角．连接BC1，在△BA1C1中，A1B＝6，A1C1＝1，BC1＝5，所以A1B2＝A1C21＋BC21，即∠BC1A1＝90°，所以cos∠BA1C1＝66.
答案：66
12．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________；圆C与圆C′的公共弦的长度为________．
解析：将圆C的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－1)2＝10，由已知结论可得圆心C(3,1)关于直线l的对称点C′为(2,2)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝10.将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为x－y－1＝0，故弦长为210－122＝38.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10　38
13．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为π4，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
解析：由直线l1的倾斜角为π4，得－a＝tanπ4＝1，
∴a＝－1.
由l1⊥l2，得－a×1＝－1，∴a＝1.
由l1∥l2，得a＝－1，∴直线l1的方程为x－y＋1＝0，故两平行直线间的距离d＝|1－－3|2＝22.
答案：－1　1　22
14.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
解析：(1)记AB的中点为D，在Rt△BDC中，易得圆C的半径r＝BC＝2.因此圆心C的坐标为
 
(1，2)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
(2)因为点B的坐标为(0，2＋1)，C的坐标为(1，2)，所以直线BC的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y＝x＋2＋1，故切线在x轴上的截距为－2－1.
答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2　(2)－2－1
15．在如图所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填写编号)________，此四面体的体积为________．
 
解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(0,2,2)且一条对角线(左下右上)可见，另一条对角线(左上右下)不可见，故正视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②.此四面体体积为V＝2×2×2－4×13×2×12×2×2＝83.
答案：③②②　83
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以OE⊥AF，OE⊥BC.
又BC是圆O的直径，
所以|OB|＝|OC|.
又|AB|＝|AC|＝6，
所以OA⊥BC，|BC|＝62.
所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝32.
如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．
17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE.
证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，
又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.
因为AB⊂平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
 
(2)取AB中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝12AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE.
18．(本小题满分15分)光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则2＋x02＋3＋y02＋1＝0，y0－3x0－2＝1，解得A′(－4，－3)．
由于反射光线所在直线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)•1＋31＋4，即4x－5y＋1＝0.
解方程组4x－5y＋1＝0，x＋y＋1＝0，得反射点P－23，－13.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)•3＋132＋23，即5x－4y＋2＝0.
19．(本小题满分15分)已知四棱锥P­ABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．
(1)证明：PD⊥平面PAB；
(2)求二面角P­CB­A的余弦值．
解：(1)证明：如图，连接BD.
易知在梯形ABCD中，AD＝5，而PD＝1，AP＝2，
所以PD2＋AP2＝AD2，
则PD⊥PA，
同理PD⊥PB，
又PA∩PB＝P，故PD⊥平面PAB.
(2)如图，取AB的中点M，连接PM，DM，作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，垂足为H，连接PH.
由(1)，得AB⊥平面DPM，则
平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥BC，PN⊥NH.
又NH⊥BC，PN∩NH＝N，所以BC⊥平面NPH，
即∠NHP是二面角P­CB­A的平面角．
∴在Rt△HNP中，PN＝32，NH＝1，
则PH＝72，cos∠NHP＝NHPH＝277，
即二面角P­CB­A的余弦值为277.
20．(本小题满分15分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为x，－2－34x.
因为圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×12×|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋1＋2＋34x2＝54x＋12＋9.所以当x＝－45时，
|PC|2min＝9.所以|AP|min＝9－1＝22，即四边形PACB面积的最小值为22.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则
x－12＋y－12＝4，3x＋4y＋8＝0，
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.
所以这样的点P是不存在的． 文 章来源
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