2018年秋沪科版九年级上《第23章解直角三角形》测试题含答案

第23章　解直角三角形
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝22，则sinB等于(　　)
A. 12    B. 22   C. 32   D．1
2．如图23－Z－1，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是(　　)
A．m·sin35°     B．m·cos35°
C. msin35°          D. mcos35°
 
图23－Z－1
3．△ABC在网格中的位置如图23－Z－2所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于点D，下列选项中，错误的是(　　)
A．sinα＝cosα    B．tan∠ACD＝2
C．sinβ＝cosβ    D．tanα＝1
　　　
      图23－Z－2
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝4，c＝5，则tanA的值是(　　)
A. 34     B. 43     C. 35      D. 45
5．下列式子中不成立的是(　　)
A. 2cos45°＝2sin30°
B．sin30°×cos60°＝12sin245°
C．cos45°－sin45°＝0
D．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°
6．如图23－Z－3，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式中成立的是(　　)
A．sinA＝cosA     B．sinA＞cosA
C．sinA＞tanA     D．sinA＜cosA
 
 
图23－Z－3
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝35，D是AB的中点，则 tan∠BCD＋ tan∠ACD等于(　　)
A. 2512     B. 75     C. 43     D. 83
8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，点B在x轴上，且sin∠OAB＝45，则点B的坐标为(　　)
A．(4，0)                       B．(－4，0)
C．(4，0)或(－4，0)              D．(5，0)或(－5，0)
9．如图23－Z－4所示，小明从A地沿北偏东30°方向走100 3 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小明离A地(　　)
A．60 m　 B．80 m　 C．100 m　 D．120 m
 
 图23－Z－4
10．如图23－Z－5，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝15，则AD的长为(　　)
A．2     B. 3      C. 2        D．1
　　　　　
        图23－Z－5

 
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．如图23－Z－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝________.
 
图23－Z－6
12.如图23－Z－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则 tan∠BCD的值是________．
　　　　
     图23－Z－7
13．如图23－Z－8，在菱形ABCD中， AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cosB＝513，则这个菱形的面积是________．
 
图23－Z－8

14．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝ ，AC＝8，则AB的长度是________．
 
图23－Z－9

三、解答题(共40分)
15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．
 

16．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
 

17．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.
 

18．(12分)如图23－Z－13，台风中心位于点O处，并沿北偏东45°方向﹙OC方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A.
(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？
(2)在点O的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B，则B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．
 
图23－Z－13
 
1.  B
2．B　[解析] cosA＝ACAB，即cos35°＝ACm，∴AC＝m·cos35°.
3．C　[解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sinα＝cosα＝22 2＝22，tan∠ACD＝21＝2，sinβ＝cos(90°－β)，故选C.
4．A　5.D
6．B　[解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．
 
7．A　[解析] 如图，由sinA＝35，设BC＝3k，AB＝5k.由勾股定理得AC＝4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD＝AD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∠ACD＝∠A，故tan∠BCD＋tan∠ACD＝43＋34＝2512.
 
8．C　[解析] ①如图，点B在x轴的正半轴上．
∵sin∠OAB＝45，
∴设OB＝4x，AB＝5x，
∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2，解得x＝1，∴OB＝4.
则点B的坐标是(4，0)；
②同理，当点B在x轴的负半轴上时，点B的坐标是(－4，0)．
则点B的坐标是(4，0)或(－4，0)．
9．C
 
10．A　[解析] 如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE为等腰直角三角形，AE＝DE.在Rt△BDE中，tan∠DBA＝DEBE＝AEBE＝15，所以BE＝5AE.在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，由勾股定理可求出AB＝6 2，所以AE＝2.在等腰直角三角形ADE中，利用勾股定理可求出AD的长为2.故选A.
11．17　[解析] ∵tanA＝BCAC，即158＝15AC，∴AC＝8.根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝82＋152＝17.
12.34　[解析] 在Rt△ABC与Rt△BCD中，∵∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD.∴tan∠BCD＝tanA＝BCAC＝68＝34.故答案为34.
13.3916　[解析] 设BE＝5x，由cosB＝513，得AB＝13x，AE＝12x，则13x＝5x＋1，解得x＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝3916.
14．6　[解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt△ABC中求解．
 
15．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.
∵∠A＝30°，AC＝2 3，
∴CD＝3，∴BD＝CD＝3.
由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋3.
16．解：如图，过点A作AE⊥直线CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F.
∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，
∴∠A＝∠BOD＝70°.
在Rt△ABF中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．
答：端点A到底面CD的距离约是1.1 m.
 
17．解：如图，过点A作AE⊥CD于点E.
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝CDBD，
∴CD＝BD·tan60°＝3BD.
在Rt△ACE中，∵tan∠CAE＝CEAE，
∴CE＝AE·tan30°＝BD·tan30°＝33BD.
∵CD－CE＝AB，
即3BD－33BD＝42，
∴BD＝21 3.
∴CD＝3BD＝63(米)．
答：⑪号楼的高度CD为63米．
 
18．解：(1)不会．理由：如图，过点A作AE⊥OC于点E.在Rt△AOE中，sin45°＝AEOA，
∴AE＝60 2×22＝60(千米)．
∵60千米＞50千米，
∴A市不会受到此台风的影响．
 
(2)会．如图，过点B作BF⊥OC于点F.
在Rt△BOF中，∵∠BOF＝45°－15°＝30°，
sin30°＝BFOB，
∴BF＝80×12＝40(千米)．
∵40千米＜50千米，
∴B市会受到台风的影响．
如图，以B为圆心，50千米为半径作圆交OC于点G，H.在Rt△BGF中，∵BF＝40千米，
∴GF＝502－402＝30(千米)．
同理，FH＝30千米．
∴GH＝60千米，60÷40＝1.5(时)，
∴B市受到台风影响的时间为1.5小时．