2018届高考数学模拟试题3（中山市带答案）

2018高考高三数学3月月考模拟试题03
第一部分  选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设 为虚数单位，则复数 等于
A．      B．         C．      D． 
2．已知集合 ， ， ，则
A. 0           B. 3          C. 4           D. 3或4
3．已知向量 ， ，则
 A．             B.          C.              D. 
4、函数f（x）＝｜x－2｜－lnx在定义域内的零点个数为
A、0　　B、1　　C、2　　D、3
5．已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为
A．              B．              C．              D．
6.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积
A．         B．        C．       D．               

7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件 =“取到的2个数之和为偶数”，事件 =“取到的2个数
均为偶数”，则  = （  ）.
(A)              (B)           (C)            (D)
8．设向量 ， ，定义一运算：   ,
  已知 ， 。点Q在 的图像上运动，且满足  （其中O为坐标原点），则 的最大值及最小正周期分别是
A．             B．        C．         D．
第二部分  非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 已知不等式 的解集与不等式 的解集
相同,则 的值为    
10. 若  n的展开式中所有二项式系数之和为64，则
展开式的常数项为        .
11.已知等差数列 的首项 ，前三项之和 ，则
 的通项 ．
12. 计算   =         . 
13．如图，是一程序框图，则输出结果为
       ，               . 。
(说明， 是赋值语句，也可以写成 ，或
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆 的割线 交圆
 于 、 两点，割线 经过圆心。已知 ，
 ， 。则圆 的半径 ． 
⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 （ ）中，直线 被圆 截得的弦的长是          ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；.
（Ⅱ）设 ，求 的值域和单调递增区间．

17．（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。
   （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：
  喜爱运动 不喜爱运动 总计
男 10   16
女 6   14
总计     30
   （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
   （3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为 ，求 的分布列和均值。
 参考公式： ，其中
 
参考数据：
 
0.40 0.25 0.10 0.010
 
0.708 1.323 2.706 6.635
 

18．（本题满分14分）
如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，
且 ，点 为圆 上一点，且 ．
点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．

19．(本题满分14分)
已知数列 满足： ，且  （ ）．
（Ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前 行所有数的和 ．

20．（本题满分14分）
设椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率 ．
过该椭圆上任一点 作 轴，垂足为 ，点 在 的延长线上，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点 的轨迹 的方程；
（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直线 与曲线 的位置关系，并证明你的结论．

21．（本题满分14分）
设 ,函数 .
（Ⅰ）证明:存在唯一实数 ，使 ；
（Ⅱ）定义数列 : , , .
（i）求证:对任意正整数n都有 ；
(ii) 当 时, 若 ，
证明:对任意 都有: .

参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C C B B C
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．－1 __  ．    10．    －160   ．    11． ．    12． ．    13．11,  ．（2分，3分）
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕ ；    ⒖ ．
2.解析： 3或4
7.提示：“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有 种不同选取方式，其中满足事件 的有 种选取方式，所以 ，而满足事件 要求的有 种，即 ，再由条件概率计算公式，得
16．（本小题满分12分）
网解：（Ⅰ）∵ 
 
 的最小正周期为 ．                  ……  5分
（Ⅱ）∵ ，   ，     ．                        
 的值域为 ．       　                ………  10分
 当 递减时， 递增．　　　　　　　　　　　　
 ，即 ．        
故 的递增区间为 ．           　    …………12分

17．解：（1）
  喜爱运动 不喜爱运动 总计
男 10 6 16
女 6 8 14
总计 16 14 30
    ……2分
   （2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
 
 因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分
   （3）喜爱运动的人数为 的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：
                ……8分
 喜爱运动的人数为 的分布列为：
 
0 1 2
P 
 
 

 ……10分
 所以喜爱运动的人数 的值为：     … 12分

18．（本题满分14分）
解析：（Ⅰ）法1：连接 ，由 知，点 为 的中点，
又∵ 为圆 的直径，∴ ，
由 知， ，
∴ 为等边三角形，从而 ．-----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，-----------------5分
由 得， 平面 ，
又 平面 ，∴ ．                                      -----------------6分
（注：证明 平面 时，也可以由平面 平面 得到，酌情给分．）
法2：∵ 为圆 的直径，∴ ，
在 中设 ，由 ， 得， ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ．                                       -----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，                                                           -5分
由 得， 平面 ，
又 平面 ，∴ ．     ---------6分
法3：∵ 为圆 的直径，∴ ，
在 中由 得， ，
设 ，由 得， ， ，
由余弦定理得， ，
∴ ，即 ．          -----3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，                                                             ------5分
由 得， 平面 ，
又 平面 ，∴ ．           -----------6分
（Ⅱ）法1：（综合法）过点 作 ，垂足为 ，连接 ．              -----------------7分
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
∴ ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，-----------------9分
∴ 为二面角 的平面角． -----------------10分
由（Ⅰ）可知 ， ，
（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）
∴ ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，即二面角 的余弦值为 ．       --------14分
法2：（坐标法）以 为原点， 、 和 的方向分别为 轴、 轴和 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．                                                           -----------------8分
（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明 ，酌情给分．）
设 ，由 ， 得， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
由 平面 ，知平面 的一个法向量为 ．           -----------------10分
设平面 的一个法向量为 ，则
 ，即 ，令 ，则 ， ，
∴ ，-----------------12分
设二面角 的平面角的大小为 ，
则 ，-----------------13分
∴二面角 的余弦值为 ．-----------------14分

19．解：（Ⅰ）由条件 ，  ，得
            ………………2分
∴ 数列 为等差数列．               ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得      …………4分
∴        ………………7分
∴                       .………… 8分
（Ⅲ）     ( )  ………………………10分
∴  第 行各数之和 
        （ ）………….…12分     
∴ 表中前 行所有数的和
 
   
  .                          ………….…14分
20．（本题满分14分）
解析：（1）由题意可得 ， ，∴ ，          -.--2分
∴ ，
所以椭圆的方程为 ．                               --------4分
（2）设 ， ，由题意得 ，即 ，        --------6分
又 ，代入得 ，即 ．
即动点 的轨迹 的方程为 ．                               -------8分
（3）设 ，点 的坐标为 ，
∵ 三点共线，∴ ，
而 ， ，则 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，           -------10分
∴直线 的斜率为 ，
而 ，∴ ，
∴ ，                                                -------12分
∴直线 的方程为 ，化简得 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相切．                                            -------14分
21．（本题满分14分）
（Ⅰ）证明: ① .                 1分
令 ,则 , ,
∴ .                           …………… 2分
又 ,∴ 是R上的增函数.   …… 3分
故 在区间 上有唯一零点,
即存在唯一实数 使 .         ……… 4分
②当 时,  , ,由①知 ,即 成立；………… 5分
设当 时,  ,注意到 在 上是减函数,且 ,
故有: ,即
∴ ,     …………………… 7分
即 .这就是说, 时,结论也成立.
故对任意正整数 都有: .    ………… 8分
(2)当 时,由 得: ,     …………… 9分
  …………… 10分
当 时, ,
∴  
       …….………… 12分
对 ,
           …… 13分
 
     ……… 14分