2018年秋九年级数学上册4.3解直角三角形作业新版湘教版(含答案)

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2018年秋九年级数学上册4.3解直角三角形作业新版湘教版(含答案)

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4.3 解直角三角形
一、选择题
1.在下列直角三角形中不能求解的是(  )
A.已知一直角边和一锐角
B.已知一斜边和一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.如图K-34-1是教学用的三角尺,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC的长为(  )
 
图K-34-1
A.30 3 cm  B.20 3 cm
C.10 3 cm  D.5 3 cm
3.2016·牡丹江如图K-34-2,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.若AC=6 2,∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD的长为(  )
 
图K-34-2
A.2  B.3  C.3 2  D.2 3
4.如图K-34-3,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,若cos∠BDC=35,则BC的长是(  )
 
图K-34-3
A.4 cm  B.6 cm 
C.8 cm  D.10 cm
5.在△ABC中,∠C=90°,tanA=125,△ABC的周长为60,那么△ABC的面积为(  )
A.60  B.30  C.240  D.120
6.如图K-34-4,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tanB=34,则BC的长为(  )
 
图K-34-4
A.6  B.8  C.12  D.16
二、填空
7.在△ABC中,∠C=90°,cosA=1213,BC=12,那么AC=________.
8.如图K-34-5,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足为E,DE=6,sinA=35,则菱形ABCD的周长是 ________ .
 
图K-34-5
9.已知△ABC,O为AC的中点,点P在AC上,若OP=52,tanA=12,∠B=120°,BC=2 3,则AP的长为________.
三、解答题
10.根据下列条件解直角三角形ABC,其中∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)已知c=8 3,∠A=60°;
(2)已知b=2 2,c=4;
(3)已知c=4,a=b.
 

 


11.在△ABC中,∠C=90°,cosA=33,AB=8 cm.求△ABC的面积.
 

12.如图K-34-6,在△ABC中,已知BC=1+3,∠B=60°,∠C=45°,求AB的长.
 


13.如图K-34-7,在△ABC中,CD是边AB上的中线,∠B是锐角,且sinB=22,tanA=12,AC=3 5.
(1)求∠B的度数及AB的长;
(2)求tan∠CDB的值. 

14.如图K-34-8所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知α=37°,求长方形卡片的周长.(结果精确到1 mm,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
 


15.如图K-34-9,已知∠B=37°,AB=20,C是射线BM上一点.
(1)求点A到BM的距离.
(2)在下列条件中,可以唯一确定BC长的是________.(填写所有符合条件的序号)
①AC=13;②tan∠ACB=125;③连接AC,△ABC的面积为126.
(3)在(2)的答案中,选择其中一个作为条件,画出草图,并求BC的长.
(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)

16探究性问题我们知道,直角三角形的边角关系可用三角函数来描述,那么在任意三角形中,边角之间是否也存在某种关系呢?
如图K-34-10,在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ADC中,CD=bsinA,AD=bcosA,
∴BD=c-bcosA.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得CD2+BD2=BC2,
即(bsinA)2+(c-bcosA)2=a2,
整理,得a2=b2+c2-2bccosA.
通过学习上述材料,解答下列问题:
(1)直接写出你探究得出的结论:b2=________,c2=________;
(2)请你用文字概括所得到的结论:三角形中,任何一边的平方等于________________________________________________________________________;
(3)在△ABC中,∠A=45°,b=2 2,c=2,求a和∠C;
(4)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=45°(c>a>b),求边长c.
 

1.[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边,故不能解这个直角三角形.
2.[答案] C
3. [解析] A ∵AC=6 2,∠C=45°,
∴AD=AC·sin45°=6 2×22=6.
∵tan∠ABC=ADBD=3,
∴BD=AD3=2.
4.[解析] A ∵∠C=90°,AC=8 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,∴BD=AD,∴CD+BD=8cm.∵cos∠BDC=CDBD=35,∴CD8-CD=35,解得CD=3(cm),∴BD=5cm,∴BC=4 cm.故选A.
5.[解析] D 如图所示,由tanA=125,设BC=12x,AC=5x,根据勾股定理,得AB=13x.由题意得12x+5x+13x=60,解得x=2,∴BC=24,AC=10,则△ABC的面积为120.故选D.
 
6.[解析] D ∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴BD=CD.∵tanB=ADBD=34,∴AD=34BD.∵AD2+BD2=AB2,∴(34BD)2+BD2=102,∴BD=8,∴BC=16.故选D.
7.[答案] 1445
8.[答案] 40
[解析] ∵DE⊥AB,∴△ADE是直角三角形,∴sinA=DEAD=35, 即AD=10.
∵菱形的四条边都相等,
∴菱形ABCD的周长=10×4=40.
9.[答案] 2 5或5
[解析] 过点C作CD⊥AB的延长线于点D,∵∠ABC=120°,
∴∠CBD=60°.∵BC=2 3,
∴DC=BC·sin60°=2 3×32=3.∵tanA=12,∴AD=2DC=6,∴AC=AD2+DC2=3 5.∵O是AC的中点,∴AO=32 5.∵OP=52,∴AP的长为2 5或5.
 
10.解:(1)∠B=30°,a=12,b=4 3.
(2)a=2 2,∠A=∠B=45°.
(3)∠A=∠B=45°,a=b=2 2.
11.[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB求未知边AC,再用勾股定理求BC.
解:∵在Rt△ABC中,cosA=ACAB=33,
∴AC=AB·cosA=8 33(cm).
由勾股定理,得BC=AB2-AC2=8 63(cm).
∴S△ABC=12×8 33×8 63=32 23(cm2).
12.解:过点A作AD⊥BC,垂足为D.
设BD=x,在Rt△ABD中,AD=BD·tanB=x·tan60°=3x.
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,
∴CD=AD=3x.
∵BC=1+3,∴3x+x=1+3,
解得x=1,即BD=1.
在Rt△ABD中,∵cosB=BDAB,
∴AB=BDcosB=1cos60°=2.
13.解:(1)过点C作CE⊥AB于点E,设CE=x,在Rt△ACE中,∵tanA=CEAE=12,
∴AE=2x,∴AC=x2+(2x)2=5x,
∴5x=3 5,解得x=3,
∴CE=3,AE=6.
在Rt△BCE中,∵sinB=22,
∴∠B=45°,
∴△BCE为等腰直角三角形,
∴BE=CE=3,
∴AB=AE+BE=9.
即∠B的度数为45°,AB的长为9.
 
(2)∵CD为中线,
∴BD=12AB=4.5,∴DE=BD-BE=4.5-3=1.5,
∴tan∠CDE=CEDE=31.5=2,
即tan∠CDB的值为2.
14.解:如图,过点B作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°,∠ADF+∠DAF=90°,∴∠ADF=α=37°.根据题意,得BE=24 mm,DF=48 mm.在Rt△ABE中,sinα=BEAB,∴AB=BEsin37°≈240.60=40 (mm).在Rt△ADF中,cos∠ADF=DFAD,∴AD=DFcos37°≈480.80=60(mm).∴矩形ABCD的周长≈2×(40+60)=200(mm).
 
15.解:(1)如图①,过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=90°.在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=37°,∴AD=AB·sinB=12.
(2)①以点A为圆心、13为半径画圆,与直线BM有两个交点,点C不唯一;
②由tan∠ACB=125知∠ACB的大小确定,在△ABC中,∠ACB,∠B及AB确定,此时的三角形唯一;
③AB的长度和三角形的面积均确定,则点C到AB的距离即可确定,则BM上的点C是唯一的.故答案为②③.
(3)如图②,方案一:选②,由(1)得,AD=12,BD=AB·cosB=16.在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∴CD=ADtan∠ACB=5,∴BC=BD+CD=21.方案二:选③,过点C作CE⊥AB于点E,则∠BEC=90°,由S△ABC=12AB·CE,得CE=12.6.在Rt△BEC中,∵∠BEC=90°,∴BC=CEsinB=21.
    
 16解:(1)a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC
(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍
(3)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA=(2 2)2+22-2×2 2×2×22=4,
∴a=2,
∴a2+c2=22+22=8,b2=(2 2)2=8,
∴a2+c2=b2,
∴△ABC为直角三角形,且a=c=2,
∴∠C=45°.
(4)∵b2=a2+c2-2accosB,
∴c2-6c+1=0,解得c=6±22.
∵c>a>b,∴c=6+22.
 

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