2018年秋九年级数学上册4.3解直角三角形作业新版湘教版(含答案)

4.3　解直角三角形
一、选择题
1．在下列直角三角形中不能求解的是(　　)
A．已知一直角边和一锐角
B．已知一斜边和一锐角
C．已知两边
D．已知两角
2．如图K－34－1是教学用的三角尺，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为(　　)
 
图K－34－1
A．30 3 cm  B．20 3 cm
C．10 3 cm  D．5 3 cm
3．2016·牡丹江如图K－34－2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若AC＝6 2，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD的长为(　　)
 
图K－34－2
A．2  B．3  C．3 2  D．2 3
4．如图K－34－3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝35，则BC的长是(　　)
 
图K－34－3
A．4 cm  B．6 cm 
C．8 cm  D．10 cm
5．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝125，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为(　　)
A．60  B．30  C．240  D．120
6．如图K－34－4，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，tanB＝34，则BC的长为(　　)
 
图K－34－4
A．6  B．8  C．12  D．16
二、填空题
7．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝1213，BC＝12，那么AC＝________．
8．如图K－34－5，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6，sinA＝35，则菱形ABCD的周长是 ________ .
 
图K－34－5
9．已知△ABC，O为AC的中点，点P在AC上，若OP＝52，tanA＝12，∠B＝120°，BC＝2 3，则AP的长为________．
三、解答题
10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)已知c＝8 3，∠A＝60°；
(2)已知b＝2 2，c＝4；
(3)已知c＝4，a＝b.
 

11．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝33，AB＝8 cm.求△ABC的面积．
 

12．如图K－34－6，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.
 

13．如图K－34－7，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB＝22，tanA＝12，AC＝3 5.
(1)求∠B的度数及AB的长；
(2)求tan∠CDB的值． 

14．如图K－34－8所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
 

15．如图K－34－9，已知∠B＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．
(1)求点A到BM的距离．
(2)在下列条件中，可以唯一确定BC长的是________．(填写所有符合条件的序号)
①AC＝13；②tan∠ACB＝125；③连接AC，△ABC的面积为126.
(3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC的长．
(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)

16探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？
如图K－34－10，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，
∴BD＝c－bcosA.
在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，
即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，
整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
通过学习上述材料，解答下列问题：
(1)直接写出你探究得出的结论：b2＝________，c2＝________；
(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；
(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a和∠C；
(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.
 

1．[解析] D　已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．
2．[答案] C
3． [解析] A　∵AC＝6 2，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin45°＝6 2×22＝6.
∵tan∠ABC＝ADBD＝3，
∴BD＝AD3＝2.
4．[解析] A　∵∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，∴BD＝AD，∴CD＋BD＝8cm.∵cos∠BDC＝CDBD＝35，∴CD8－CD＝35，解得CD＝3(cm)，∴BD＝5cm，∴BC＝4 cm.故选A.
5．[解析] D　如图所示，由tanA＝125，设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理，得AB＝13x.由题意得12x＋5x＋13x＝60，解得x＝2，∴BC＝24，AC＝10，则△ABC的面积为120.故选D.
 
6．[解析] D　∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD.∵tanB＝ADBD＝34，∴AD＝34BD.∵AD2＋BD2＝AB2，∴(34BD)2＋BD2＝102，∴BD＝8，∴BC＝16.故选D.
7．[答案] 1445
8．[答案] 40
[解析] ∵DE⊥AB，∴△ADE是直角三角形，∴sinA＝DEAD＝35， 即AD＝10.
∵菱形的四条边都相等，
∴菱形ABCD的周长＝10×4＝40.
9．[答案] 2 5或5
[解析] 过点C作CD⊥AB的延长线于点D，∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°.∵BC＝2 3，
∴DC＝BC·sin60°＝2 3×32＝3.∵tanA＝12，∴AD＝2DC＝6，∴AC＝AD2＋DC2＝3 5.∵O是AC的中点，∴AO＝32 5.∵OP＝52，∴AP的长为2 5或5.
 
10．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 3.
(2)a＝2 2，∠A＝∠B＝45°.
(3)∠A＝∠B＝45°，a＝b＝2 2.
11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB求未知边AC，再用勾股定理求BC.
解：∵在Rt△ABC中，cosA＝ACAB＝33，
∴AC＝AB·cosA＝8 33(cm)．
由勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝8 63(cm)．
∴S△ABC＝12×8 33×8 63＝32 23(cm2)．
12．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝3x.
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴CD＝AD＝3x.
∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，
解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cosB＝BDAB，
∴AB＝BDcosB＝1cos60°＝2.
13．解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tanA＝CEAE＝12，
∴AE＝2x，∴AC＝x2＋（2x）2＝5x，
∴5x＝3 5，解得x＝3，
∴CE＝3，AE＝6.
在Rt△BCE中，∵sinB＝22，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝3，
∴AB＝AE＋BE＝9.
即∠B的度数为45°，AB的长为9.
 
(2)∵CD为中线，
∴BD＝12AB＝4.5，∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5，
∴tan∠CDE＝CEDE＝31.5＝2，
即tan∠CDB的值为2.
14．解：如图，过点B作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F.∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝37°.根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm.在Rt△ABE中，sinα＝BEAB，∴AB＝BEsin37°≈240.60＝40 (mm)．在Rt△ADF中，cos∠ADF＝DFAD，∴AD＝DFcos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．
 
15．解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝37°，∴AD＝AB·sinB＝12.
(2)①以点A为圆心、13为半径画圆，与直线BM有两个交点，点C不唯一；
②由tan∠ACB＝125知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB，∠B及AB确定，此时的三角形唯一；
③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AB的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的．故答案为②③.
(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD＝12，BD＝AB·cosB＝16.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴CD＝ADtan∠ACB＝5，∴BC＝BD＋CD＝21.方案二：选③，过点C作CE⊥AB于点E，则∠BEC＝90°，由S△ABC＝12AB·CE，得CE＝12.6.在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°，∴BC＝CEsinB＝21.
 　　　
 16解：(1)a2＋c2－2accosB　a2＋b2－2abcosC
(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍
(3)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4，
∴a＝2，
∴a2＋c2＝22＋22＝8，b2＝(2 2)2＝8，
∴a2＋c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形，且a＝c＝2，
∴∠C＝45°.
(4)∵b2＝a2＋c2－2accosB，
∴c2－6c＋1＝0，解得c＝6±22.
∵c＞a＞b，∴c＝6＋22.