2017年双鸭山市高二数学下期末试题(理)含答案

双鸭山市2016-2017学年度下学期
高二数学（理）期末考试卷
一、单项选择(每题5分，共60分)
1、设全集 , ， ，则 （     ）
  A．            B．   
  C．     D．
2、已知复数 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（   ）
  A. 第一象限         B. 第二象限   
  C. 第三象限         D. 第四象限
3、“ ”是“ ”的(    )
  A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件   
  C. 充要条件         D.既不充分也不必要条件
4、下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（　　）
  A．f（x）=        B．f（x）=  
  C．f（x）=2﹣x﹣2x   D．f（x）=﹣tanx
5、函数 的大致图象为(    )
A.      B. 
C.     D.  

6、已知函数 是定义在 上周期为4的奇函数，当 时，  ，
则 （    ）
    A. 1          B. -1         C. 0           D. 2
7、观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)
A. 192          B. 202        C. 212         D. 222
8、直线 （为参数）被曲线 所截的弦长为(     )
A. 4           B.           C.         D. 8
9、设 ，用二分法求方程 在 内近似解的过程中，  ，则方程的根落在区间（     ）
     A.      B.      C.        D. 不能确定
10、已知实数 满足 ， ，则函数 的零点个数是（    ）
    A. 0          B. 1      C. 2       D. 3
11、已知 是 上的增函数，那么实数 的取值范围是（    ）
A.      B.      C.      D. 
12、已知函数 是定义在 上的函数，若函数 为偶函数，且 对任意  ，都有 ，则（    ）
A.   B. 
C.   D. 

二、填空题（每题5分，共20分）
13、函数 的定义域为__________；
14、曲线 与 所围成的图形的面积是__________．
15、关于 不等式 的解集是             ．
16、在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为             .
①函数 的图象关于点 成中心对称；
②对 若 ，则 ；
③若实数 满足 则 的最大值为 ；
④若 为钝角三角形，则

三、解答题
17、（本题10分）已知 、 、 是正实数，且 ，求证： ．

18、（本题12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
 

19、（本题12分）在直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数），在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线 .
（1）求曲线 与 的交点 的直角坐标；
（2）设点 ， 分别为曲线 ， 上的动点，求 的最小值.

20、（本题12分）已知 .
（1）解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
 

21、（本题12分）已知函数 ，且 ．
（1）若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围；
（2）若 在 上的最大值是2，求实数 的的值．
 

22、（本题12分）已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 的点 处的切线方程；
（2）当 时，若 在区间 上的最小值为-2，求 的取值范围.
 
参考答案
一、单项选择
1、C
【解析】由题意可得 ,则  .
2、C
【解析】因 ，故复数 对应的点在第三象限，应选答案C。
3、B
【解析】因为 ，所以 ，反之不成立，因此是必要不充分条件，应选答案B 。
4、C
【解析】
解：A中，f（x）= 是奇函数，但在定义域内不单调；
B中，f（x）= 是减函数，但不具备奇偶性；
C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；
D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；
故选C．
5、C
【解析】函数 为偶函数，所以去掉A,D.又当 时， ，所以选C.
6、A
【解析】函数 是定义在 上周期为4的奇函数,  ,
又 ,所以 ，故选A.
7、C
【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；
右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里 ，  ），
∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，
右边的底数为 ，又左边为立方和，右边为平方的形式，
故有 ，故选C.
8、A
【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为 ，
又由 ，可得 表示以 为圆心，
半径为 的圆，此时圆心在直线 上，所以截得的弦长为 ，故选A.
9、B
【解析】方程 的解等价于 的零点.由于 在 上连续且单调递增， 所以 在 内有零点且唯一，所以方程 的根落在区间 ，故选B．
10、B
【解析】依题意， ，令 ， ， 为增函数， 为减函数，故有 个零点.
11、D
【解析】依题意， 函数在 上为增函数，故 ，解得 .
点睛：本题主要考查分段函数的单调性.由于函数是在 上的增函数，所以分段函数的两段都是增函数，即当 时，一次函数的斜率大于零，当 时，对数函数的底数大于 .除此之外，还需要满足在 处的函数值，左边不大于右边.由此列出不等式组，从而求得实数 的取值范围.
12、A
【解析】依题意， 为偶函数，则函数 关于 对称，由于函数 ，即函数在 上为减函数，在 上为减函数.所以 .
点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数图象变换.对于形如 的函数，都可以看作是 向左或右平移得到，根据这个特点，可以判断本题中函数 的图像是关于 对称的.再结合函数的单调性，并且将 转化为 ，就能比较出大小.
二、填空题
13、
【解析】由题意得  ,即定义域为 .
14、
【解析】由积分的几何意义可知，  .
15、
【解析】当 ，即 时，原不等式可化为 ，则 ；当 ，即 时，原不等式可化为 ，则 ，故原不等式的解集是 .
16、①②③
【解析】由函数 可得 .所以函数关于点 成中心对称成立.所以①正确.由②的逆否命题是 若 且 ，则 .显然命题成立.所以②正确.由图可知③正确.显然④不正确，如果A,B都是锐角则大小没办法定.所以④不正确.故填①②③.
考点：1.函数的对称性.2.命题的真假.3.几何法解决最值问题.4.三角函数问题.
三、解答题
17、试题分析：只要证明 ，只要证明 ，只要证 ，而 为已知条件，命题得证．
试题解析：∵ ， ， 是正实数，
∴要证 ，只要证 ，
即证 ，即证 ．
∵ ，∴原不等式成立．
18、解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
由 解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
（1）若a=1，则p：1＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即 ，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴ ，即 ，
解得1＜a≤2．
　19、（1）点 的直角坐标为 ；（2） 的最小值为 ．
试题分析：（1）先把曲线 的参数方程化成普通方程为 ，利用三角函数公式和极坐标转换直角坐标公式得曲线 的直角坐标系方程，两个方程联立解得交点 的直角坐标为 ．
（2）先由已知得曲线 的直角坐标方程为 ，根据点到直线的距离公式求出曲线 的圆心 到直线 的距离，所以 ．
试题解析：（1）由 得曲线 的普通方程为 ．
由 ，得曲线 的直角坐标系方程为 ．
由 ，得 ，解得 或 （舍去）．
所以点 的直角坐标为 ．
（2）由 ，得曲线 的直角坐标方程为 ，即 ．
则曲线 的圆心 到直线 的距离为 ．
因为圆 的半径为1，所以 ．
20、（1） ；（2） .
试题分析：（1）分三种情况 去掉绝对值解不等式即可；(2)若关于x的不等式 对于任意的 恒成立,故 的最小值大于 .而由绝对值的意义可得 的最小值为3,可得 ,由此计算得出a的范围.
试题解析：（1）当 时，  由 解得
当时 ，  不成立
当时 ，  解得
综上有 的解集是
（2）因为  ，所以 的最小值为3
要使得关于 的不等式 对任意的 恒成立，只需
 解得 ，故 的取值范围是 .
21、（1） ;（2） 或 .
试题分析：（1）由 ，得 .又 在区间 上有零点可得 .或者可用求根公式求得另一零点,使其在区间 内.（2）函数 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为 .讨论对称轴 与区间 的关系,根据函数的单调性求其最大值.
试题解析：解：（1）由 ，得 ．
又 在区间 上有零点，且 的一个零点是1；
所以， ．
（2） ，对称轴为 ．
①当 时， ，则 ；
②当 时， ，则 ，或 （舍去）；
③当 时， ，则 （舍去）；
综上： 或 ．
22、（1） ；（2） .
试题分析：（Ⅰ）我们易求出 及 的值，代入点斜式方程即可得到答案；（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数 在区间 上的最小值为-2，即可求 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当 时， ，
∴ ，∴ .
∴切线方程为 .
（Ⅱ）函数 的定义域为 ，
当 时，  ，
令 得 或 .
①当 ，即 时， 在 上递增.
∴ 在 上的最小值为 ，符合题意；
②当 ，即 时， 在 上递减，在 上递增，
∴ 在 上的最小值为 ，不合题意；
③当 ，即 时， 在 上递减，
∴ 在 上的最小值为 ，不合题意；
综上， 的取值范围是 .